Determine (caso existam) os seguintes limites:
lim x 0 e^x-1x ln (x^2+1)+sen(x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0e^x-1xln(x^2+1)+sin x
O conteúdo é cálculo de limite do tipo 0/0. Podemos usar séries de Taylor (equivalentes infinitesimais) em torno de x=0 para numerador e denominador.

Passo 2

Expandindo cada parte em série até ordem relevante:
Para o numerador, temos
e^x-1 = x + x^22 + x^36 + O(x^4)
Para o denominador, separamos em duas parcelas. Primeiro
ln(1+x^2) = x^2 - x^42 + O(x^6),
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xln(1+x^2) = x^3 - x^52 + O(x^7)
Depois,
sin x = x - x^36 + O(x^5)
Somando,
xln(1+x^2)+sin x = l(x - tfracx^36r) + l(x^3 + O(x^5)r) = x + 56,x^3 + O(x^5)

Passo 3

Escrevendo a razão com esses desenvolvimentos:
e^x-1xln(1+x^2)+sin x = xl(1+tfracx2+tfracx^26+O(x^3)r) xl(1+tfrac56x^2+O(x^4)r) = 1+tfracx2+tfracx^26+O(x^3)1+tfrac56x^2+O(x^4)
À medida que xto0, esse quociente tende a 1.

Passo 4

Portanto, o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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