Determine (caso existam) os seguintes limites:
lim x infty[x-x^2 ln (1+xx)]

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyl[x - x^2lnl(tfracx+1xr)r]
O conteúdo principal aqui é usar expansão em série de Taylor para o logaritmo quando o argumento vai a 1.

Passo 2

Observe que
lnl(tfracx+1xr) = lnl(1 + tfrac1xr)

Passo 3

Para u pequeno vale a expansão
ln(1+u) = u - tfracu^22 + O(u^3)
Aqui tomamos u = 1/x, que de fato tende a zero quando xtoinfty.

Passo 4

Substituindo u=1/x na expansão:
x^2lnl(1+tfrac1xr) = x^2l(tfrac1x - tfrac12x^2 + O(tfrac1x^3)r) = x - tfrac12 + Ol(tfrac1xr)
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x - x^2lnl(1+tfrac1xr) = x - l(x - tfrac12 + O(tfrac1x)r) = tfrac12 + Ol(tfrac1xr)

Passo 5

Como O(tfrac1x)to0 para xtoinfty, concluímos que o limite existe e vale
tfrac12

Resposta

tfrac12

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