Determine, caso existam, as soluções dos seguintes sistemas:
& sumi=1^6 i xi=6 & sumi=1^5 i xi=5 & sumi=1^4 i xi=4 & sumi=1^3 i xi=3 & sumi=1^2 i xi=2 & sumi=1^1 i xi=1

Passo 1

Temos o sistema definido pelas equações sumi=1^k i xi = k para k=1,2,dots,6. O conteúdo é resolução de sistemas lineares via substituição direta: vamos isolar cada variável em sequência.

Passo 2

Da primeira equação, sumi=1^1 i xi =1, obtemos
1cdot x1 = 1
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x1 = 1

Passo 3

Da segunda equação, sumi=1^2 i xi =2, sabemos que x1=1, então
1cdot x1 + 2cdot x2 = 2 implies 1 + 2x2 =2
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2x2 = 1 implies x2 = tfrac12

Passo 4

Da terceira equação, sumi=1^3 i xi =3, com x1=1 e x2=tfrac12, temos
1 + 2cdottfrac12 + 3x3 = 3 implies 1 + 1 + 3x3 =3
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3x3 = 1 implies x3 = tfrac13

Passo 5

Da quarta equação, sumi=1^4 i xi =4, usando os valores anteriores,
1 + 2cdottfrac12 + 3cdottfrac13 + 4x4 = 4 implies 1 + 1 + 1 + 4x4 =4
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4x4 = 1 implies x4 = tfrac14

Passo 6

Da quinta equação, sumi=1^5 i xi =5, com x1=1, x2=tfrac12, x3=tfrac13, x4=tfrac14, segue
1 + 1 + 1 + 1 + 5x5 =5 implies 4 + 5x5 =5
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5x5 = 1 implies x5 = tfrac15

Passo 7

Da sexta equação, sumi=1^6 i xi =6, substituindo todos os anteriores,
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6x6 =6 implies 5 + 6x6 =6
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6x6 = 1 implies x6 = tfrac16

Resposta

A única solução é xi = tfrac1i para i=1,2,dots,6.

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