Questão 14. Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer.
l2 x+y+2 z=4 x+2 y+z=-1 3 x+5 y+2 z=1

Passo 1

O sistema dado é
2x + y + 2z = 4 x + 2y + z = -1 3x + 5y + 2z = 1
Aqui vamos usar a regra de Cramer, que diz que
x = DxD, y = DyD, z = DzD,
onde D é o determinante da matriz de coeficientes e Dx, Dy, Dz são os determinantes obtidos substituindo a coluna correspondente pelos termos constantes.

Passo 2

Vamos calcular o determinante D da matriz de coeficientes:
A = 2 & 1 & 2 1 & 2 & 1 3 & 5 & 2
D = 2 cdot det2 & 1 5 & 2 - 1 cdot det1 & 1 3 & 2 + 2 cdot det1 & 2 3 & 5
Calculando cada menor:
det2 & 1 5 & 2 = 4 - 5 = -1,
det1 & 1 3 & 2 = 2 - 3 = -1,
det1 & 2 3 & 5 = 5 - 6 = -1
Substituindo:
D = 2(-1) - 1(-1) + 2(-1) = -2 + 1 - 2 = -3

Passo 3

Para Dx substituímos a primeira coluna pelos termos constantes (4, -1, 1):
Ax = 4 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 1 & 5 & 2
Dx = 4 cdot det2 & 1 5 & 2 - 1 cdot det-1 & 1 1 & 2 + 2 cdot det-1 & 2 1 & 5
Calculando os menores:
det2 & 1 5 & 2 = -1,
det-1 & 1 1 & 2 = -2 - 1 = -3,
det-1 & 2 1 & 5 = -5 - 2 = -7
Logo
Dx = 4(-1) - 1(-3) + 2(-7) = -4 + 3 - 14 = -15

Passo 4

Para Dy substituímos a segunda coluna pelos termos constantes:
Ay = 2 & 4 & 2 1 & -1 & 1 3 & 1 & 2
Dy = 2 cdot det-1 & 1 1 & 2 - 4 cdot det1 & 1 3 & 2 + 2 cdot det1 & -1 3 & 1
Calculando os menores:
det-1 & 1 1 & 2 = -2 - 1 = -3,
det1 & 1 3 & 2 = 2 - 3 = -1,
det1 & -1 3 & 1 = 1 + 3 = 4
Portanto
Dy = 2(-3) - 4(-1) + 2(4) = -6 + 4 + 8 = 6

Passo 5

Para Dz substituímos a terceira coluna pelos termos constantes:
Az = 2 & 1 & 4 1 & 2 & -1 3 & 5 & 1
Dz = 2 cdot det2 & -1 5 & 1 - 1 cdot det1 & -1 3 & 1 + 4 cdot det1 & 2 3 & 5
Calculando os menores:
det2 & -1 5 & 1 = 2 + 5 = 7,
det1 & -1 3 & 1 = 1 + 3 = 4,
det1 & 2 3 & 5 = 5 - 6 = -1
Logo
Dz = 2(7) - 1(4) + 4(-1) = 14 - 4 - 4 = 6

Passo 6

Aplicando a regra de Cramer:
x = DxD = -15-3 = 5,
y = DyD = 6-3 = -2,
z = DzD = 6-3 = -2

Resposta

x = 5,; y = -2,; z = -2

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