Obtenha uma equação geral do plano
que passa pelo ponto
e contém a reta
[
r:\left{
\right.
r:\left{
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano π que passa pelo ponto P(1,−1,1) e contém a reta r dada pelas interseções das equações x−y+2=0 e x+y+z=0. Vamos usar geometria analítica: encontraremos um vetor normal ao plano via produto vetorial e, em seguida, a forma ponto–normal da equação do plano.
Passo 2
Para achar o vetor diretor da reta r, parametrizamos as equações. Da primeira equação y=x+2, e da segunda z=−2x−2, definimos x=t, obtendo r em forma paramétrica: (t,t+2,−2t−2). Um ponto na reta é A=(0,2,−2) (t=0) e o vetor diretor é v=(1,1,−2).
Passo 3
Calculamos o vetor que liga A a P: w = P−A = (1,−1,1) − (0,2,−2) = (1,−3,3).
Passo 4
O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial n = v×w. Calculamos:
Multiplicando por −1 para simplificar, obtemos n = (3,5,4).
Passo 5
Usamos a forma ponto–normal n·((x,y,z)−P)=0. Assim, escrevemos:
Expandindo, chega-se a:
Resposta
3x + 5y + 4z - 2 = 0