Obtenha uma equação geral do plano pi que passa pelo ponto P(1,-1,1) e contém a reta
[
r:\left{ l x-y+2=0 x+y+z=0 \right.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano π que passa pelo ponto P(1,−1,1) e contém a reta r dada pelas interseções das equações x−y+2=0 e x+y+z=0. Vamos usar geometria analítica: encontraremos um vetor normal ao plano via produto vetorial e, em seguida, a forma ponto–normal da equação do plano.

Passo 2

Para achar o vetor diretor da reta r, parametrizamos as equações. Da primeira equação y=x+2, e da segunda z=−2x−2, definimos x=t, obtendo r em forma paramétrica: (t,t+2,−2t−2). Um ponto na reta é A=(0,2,−2) (t=0) e o vetor diretor é v=(1,1,−2).

Passo 3

Calculamos o vetor que liga A a P: w = P−A = (1,−1,1) − (0,2,−2) = (1,−3,3).

Passo 4

O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial n = v×w. Calculamos:
n = (1,1,−2) times (1,−3,3) = (−3,−5,−4)
Multiplicando por −1 para simplificar, obtemos n = (3,5,4).

Passo 5

Usamos a forma ponto–normal n·((x,y,z)−P)=0. Assim, escrevemos:
3(x−1) + 5(y+1) + 4(z−1) = 0
Expandindo, chega-se a:
3x + 5y + 4z − 2 = 0

Resposta

3x + 5y + 4z - 2 = 0

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