Determine, caso existam, as soluções dos seguintes sistemas:
x+2 y+3 z & =1 x+3 y+3 z & =3 2 x+5 y+6 z & =4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções do sistema
x + 2y + 3z = 1 x + 3y + 3z = 3 2x + 5y + 6z = 4

Passo 2

Estamos lidando com sistemas lineares de 3 equações e 3 incógnitas. Vamos usar o método de eliminação (redução) para simplificar e ver se o sistema é compatível, e em caso afirmativo, encontrar todas as soluções.

Passo 3

Para eliminar uma incógnita, subtraímos a primeira equação da segunda:
(x + 3y + 3z) - (x + 2y + 3z) = 3 - 1
Isso dá
y = 2

Passo 4

Agora substituímos y = 2 na primeira equação para expressar x em função de z:
x + 2cdot 2 + 3z = 1
Logo
x + 4 + 3z = 1 Rightarrow x = -3 - 3z

Passo 5

Temos agora x = -3 - 3z e y = 2. Substituímos ambas na terceira equação para verificar consistência:
2x + 5y + 6z = 4
Substituindo:
2(-3 - 3z) + 5cdot 2 + 6z = -6 - 6z + 10 + 6z = 4
O resultado é a identidade 4 = 4, sem impor restrição sobre z. Isso mostra que a terceira equação é redundante e o sistema tem infinitas soluções.

Passo 6

Para descrever todas as soluções, tomamos z = t como parâmetro livre. Então:
x = -3 - 3t, y = 2, z = t, t in R

Resposta

As soluções são dadas pelo conjunto
(x,y,z) = (-3 - 3t,,2,,t) mid t in R

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