Determine, caso existam, as soluções dos seguintes sistemas:
x2+2 x3+x4 & =0 x1+2 x2+x4 & =3 x1+3 x3+x4 & =4 -2 x2-4 x3-2 x4 & =0 3 x3+x4 & =2

Passo 1

Temos um sistema de 5 equações lineares em 4 incógnitas x1, x2, x3, x4. O conteúdo é resolução de sistemas via substituição e eliminação de Gauss, e vamos precisar identificar equações redundantes e isolar variáveis passo a passo.

Passo 2

Observe que a equação -2x2 -4x3 -2x4 = 0 é simplesmente -2 vezes a equação x2 +2x3 +x4 = 0, então ela não traz informação nova. Podemos ignorá-la e usar as outras quatro equações.

Passo 3

Da equação 3x3 + x4 = 2, isolamos x4:
x4 = 2 - 3x3

Passo 4

Substituindo x4 = 2 - 3x3 na equação x2 +2x3 +x4 = 0, temos:
x2 +2x3 + (2 -3x3) =0
que leva a x2 - x3 +2 =0 e portanto
x2 = x3 -2

Passo 5

Agora, inserindo x2 = x3 -2 e x4 = 2 -3x3 na equação x1 +2x2 +x4 =3, obtemos:
x1 +2(x3 -2) + (2 -3x3) =3
Simplificando dá x1 -x3 -2 =3, logo
x1 = x3 +5

Passo 6

Finalmente, usamos x1 +3x3 +x4 =4. Substituindo x1 = x3 +5 e x4 = 2 -3x3 resulta em
(x3 +5) +3x3 + (2 -3x3) =4,
que simplifica para x3 +7 =4 e dá x3 = -3. Em seguida,
x4 = 2 -3(-3) =11,
x2 = -3 -2 = -5,
x1 = -3 +5 =2

Resposta

x1 = 2,; x2 = -5,; x3 = -3,; x4 = 11

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