Determine, caso existam, os valores de a \in \mathbb{R} para que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+y-a z=0 \\\ a x+y-z=2-a \\\ x+a y-z=-a \end{array}\right.
tenha infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado pede os valores de a\in\mathbb{R}\) para os quais o sistema
\[\begin{cases} x + y - a\,z = 0,\\\ a\,x + y - z = 2 - a,\\\ x + a\,y - z = -a \end{cases}
tem infinitas soluções. Como se trata de um sistema linear de três equações e três incógnitas, vamos usar a condição clássica: para haver infinitas soluções deve valer
\det(A)=0\], onde \(A é a matriz dos coeficientes, e
\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|b])<3.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a\\\ a & 1 & -1\\\\ 1 & a & -1 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante por desenvolvimento ou fórmula de Sarrus:
vemos que a=1 é raiz com multiplicidade 2 e a=-2 é a outra raiz. Logo os únicos candidatos são
a=1 \quad\text{ou}\quad a=-2.
Passo 4
Verificação de consistência para a=1\):
Substituindo em cada equação, obtemos
\[\begin{cases} x + y - z = 0,\\\ x + y - z = 1,\\\ x + y - z = -1. \end{cases}
Isso é impossível, pois a mesma combinação x+y-z\] não pode valer simultaneamente \(0, 1 e -1. Logo não há soluções, muito menos infinitas.
Passo 5
Verificação de consistência para a=-2\):
O sistema fica
\[\begin{cases} x + y + 2z = 0,\\\\ -2x + y - z = 4,\\\ x - 2y - z = 2. \end{cases}
Note que a terceira equação é, no lado esquerdo, -\](equação 1) \(-(equação 2), mas no lado direito daria -0) - 4 = -4\neq 2. Portanto o sistema é inconsistente e não admite soluções.
Resposta
Não existe valor real de a para o qual o sistema tenha infinitas soluções.