Determine, caso existam, os valores de a \in \mathbb{R} para que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+y-a z=0 \\\ a x+y-z=2-a \\\ x+a y-z=-a \end{array}\right.
tenha infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado pede os valores de a\in\mathbb{R}\) para os quais o sistema \[\begin{cases} x + y - a\,z = 0,\\\ a\,x + y - z = 2 - a,\\\ x + a\,y - z = -a \end{cases}
tem infinitas soluções. Como se trata de um sistema linear de três equações e três incógnitas, vamos usar a condição clássica: para haver infinitas soluções deve valer
  1. \det(A)=0\], onde \(A é a matriz dos coeficientes, e
  2. \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|b])<3.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a\\\ a & 1 & -1\\\\ 1 & a & -1 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante por desenvolvimento ou fórmula de Sarrus:
\det(A) \;=\;-a^3 + 3a - 2.
Para infinitas soluções precisamos de \det(A)=0.

Passo 3

Resolvendo
-a^3 + 3a - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^3 - 3a + 2 = 0,
vemos que a=1 é raiz com multiplicidade 2 e a=-2 é a outra raiz. Logo os únicos candidatos são
a=1 \quad\text{ou}\quad a=-2.

Passo 4

Verificação de consistência para a=1\): Substituindo em cada equação, obtemos \[\begin{cases} x + y - z = 0,\\\ x + y - z = 1,\\\ x + y - z = -1. \end{cases}
Isso é impossível, pois a mesma combinação x+y-z\] não pode valer simultaneamente \(0, 1 e -1. Logo não há soluções, muito menos infinitas.

Passo 5

Verificação de consistência para a=-2\): O sistema fica \[\begin{cases} x + y + 2z = 0,\\\\ -2x + y - z = 4,\\\ x - 2y - z = 2. \end{cases}
Note que a terceira equação é, no lado esquerdo, -\](equação 1) \(-(equação 2), mas no lado direito daria -0) - 4 = -4\neq 2. Portanto o sistema é inconsistente e não admite soluções.

Resposta

Não existe valor real de a para o qual o sistema tenha infinitas soluções.

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