Determine, caso existam, os valores de a \in \mathbb{R} para que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+y-a z=0 \\\ a x+y-z=2-a \\\ x+a y-z=-a \end{array}\right.
não tenha solução.

Passo 1

O enunciado pede os valores de a para os quais o sistema
\begin{cases} x + y - a z = 0,\\\ a x + y - z = 2 - a,\\\ x + a y - z = -a \end{cases}
não tem solução. Em teoria de sistemas lineares, isso só ocorre se a matriz dos coeficientes for singular (determinante zero) e a matriz aumentada tiver posto maior que o da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a\\\ a & 1 & -1\\\\ 1 & a & -1 \end{pmatrix}.
Usando a expansão na primeira linha:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ a & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}a & -1\\\\ 1 & -1\end{pmatrix} +(-a)\cdot\det\begin{pmatrix}a & 1\\\\ 1 & a\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det A=(1\cdot(-1)-(-1)\cdot a)\;-\;(a\cdot(-1)-(-1)\cdot1)\;-\;a\,(a^2-1) =(a-1)-(-a+1)-a(a^2-1).
Logo
\det A=2a-2 -a^3 +a =3a-2 -a^3 =-(a^3-3a+2).
E como
a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2),
temos
\det A = -(a-1)^2(a+2).

Passo 3

A condição \det A=0
(a-1)^2(a+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad a=1\quad\text{ou}\quad a=-2.
Nesses valores a matriz A é singular, então pode haver ou infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 4

Testar a=1\). O sistema fica \[\begin{cases} x+y-z=0,\\\ x+y-z=2-1=1,\\\ x+y-z=-1. \end{cases}
Isso leva às três equações \,x+y-z=0,\;x+y-z=1,\;x+y-z=-1,\] que são claramente incompatíveis. Logo para \(a=1 não há solução.

Passo 5

Testar a=-2\). O sistema é \[\begin{cases} x+y+2z=0,\\\\ -2x+y-z=2-(-2)=4,\\\ x-2y-z=-(-2)=2. \end{cases}
Da primeira equação x=-y-2z\]. Substituindo nas outras obtemos \(\,y+z=4/3 pela segunda e \,y+z=-2/3 pela terceira,
o que é contraditório. Logo para a=-2 também não há solução.

Resposta

Os valores de a para os quais o sistema não tem solução são
a = 1 \quad\text{e}\quad a = -2.

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