Determine o valor de m \in \mathbb{R} para que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} m x+2 y=6 \\\\ 3 x-y=-2 \\\ x+y=0 \end{array}\right.
tenha solução única.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de três equações em duas incógnitas x e y:
\left\{\begin{array}{l} m x + 2y = 6,\\\\ 3x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{array}\right.
Queremos que ele tenha solução única. Num sistema sobredeterminado (3\times 2), isso ocorre exatamente quando as três equações são consistentes e a matriz de coeficientes tem posto 2. Em particular, basta resolver duas equações independentes e impor que a terceira não crie contradição.
Passo 2
Escolhemos as duas últimas equações, que formam um sistema 2\times2\):
\[\begin{cases} 3x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{cases}
Da segunda vem y = -x\]. Substituindo em \(3x - y = -2 dá
Para que esse par \bigl(x,y\bigr)=\bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr) seja solução do sistema todo, ele deve satisfazer a primeira equação m x + 2y = 6. Substituindo:
tem posto 2 (as colunas não são proporcionais), e o vetor de termos independentes também fica no mesmo espaço gerado por essas colunas. Logo o posto de (A\mid b) é 2 e há exatamente uma solução.
Resposta
O valor de m para o qual o sistema tem solução única é