Determine o valor de m \in \mathbb{R} para que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} m x+2 y=6 \\\\ 3 x-y=-2 \\\ x+y=0 \end{array}\right.
tenha solução única.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de três equações em duas incógnitas x e y:
\left\{\begin{array}{l} m x + 2y = 6,\\\\ 3x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{array}\right.
Queremos que ele tenha solução única. Num sistema sobredeterminado ( 3\times 2), isso ocorre exatamente quando as três equações são consistentes e a matriz de coeficientes tem posto 2. Em particular, basta resolver duas equações independentes e impor que a terceira não crie contradição.

Passo 2

Escolhemos as duas últimas equações, que formam um sistema 2\times2\): \[\begin{cases} 3x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{cases}
Da segunda vem y = -x\]. Substituindo em \(3x - y = -2
3x - (-x) = -2 \quad\Longrightarrow\quad 4x = -2 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac12,
logo y = -(-\tfrac12) = \tfrac12.

Passo 3

Para que esse par \bigl(x,y\bigr)=\bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr) seja solução do sistema todo, ele deve satisfazer a primeira equação m x + 2y = 6. Substituindo:
m\bigl(-\tfrac12\bigr) + 2\bigl(\tfrac12\bigr) = 6 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac m2 + 1 = 6 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac m2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad m = -10.

Passo 4

Para m = -10, a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}-10 & 2\\\ 3 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}
tem posto 2 (as colunas não são proporcionais), e o vetor de termos independentes também fica no mesmo espaço gerado por essas colunas. Logo o posto de (A\mid b) é 2 e há exatamente uma solução.

Resposta

O valor de m para o qual o sistema tem solução única é
m = -10.

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