Determine o valor de m \in \mathbb{R} para que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} m x+2 y=6 \\\\ 3 x-y=-2 \\\ x+y=0 \end{array}\right.
não tenha solução.

Passo 1

O enunciado pede o(s) valor(es) de m\in\mathbb{R}\) para que o seguinte sistema sobre \((x,y)\) não tenha solução: \[\begin{cases} m\,x + 2y = 6,\\\\ 3x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{cases}
O conteúdo aqui é análise de consistência de um sistema sobredeterminado (3 equações e 2 incógnitas). Vamos usar as duas últimas equações para obter ((x,y)] e depois verificar em que caso a primeira falha, gerando inconsistência.

Passo 2

Da terceira equação temos
x + y = 0
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y = -x.
Substituindo em 3x - y = -2
3x - (-x) = -2 \quad\Rightarrow\quad 4x = -2 \quad\Rightarrow\quad x = -\tfrac12.

Passo 3

Com x = -\tfrac12 e y = -x obtemos
y = -\bigl(-\tfrac12\bigr) = \tfrac12.

Passo 4

Para haver solução, esses valores devem satisfazer também
m\,x + 2y = 6.
Substituindo x=-\tfrac12 e y=\tfrac12 resulta
m\bigl(-\tfrac12\bigr) + 2\cdot\tfrac12 = 6 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{m}{2} + 1 = 6 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{m}{2} = 5 \quad\Rightarrow\quad m = -10.
Isso mostra que o sistema é consistente (tem solução) somente se m=-10.

Resposta

O sistema não tem solução para todo
m \in \mathbb{R}\setminus\{-10\}.

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