Determine, caso existam, os valores de
para os quais a equação dada representa uma elipse, incluindo os casos degenerados:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação da forma
e pede que a gente encontre para quais valores de
isso é uma elipse (contando também os casos degenerados). O conteúdo aqui é classificação de cônicas sem termo
: basta analisar os coeficientes de
e
.
Passo 2
Identificamos
de modo que a cônica é
. Para ser elipse (ou elipse degenerada), precisamos de
e
com o mesmo sinal, isto é
Passo 3
Resolvendo
temos duas soluções:
Nesses intervalos,
e
têm mesmo sinal, então a curva é do tipo elipse (real ou imaginária ou degenerada).
Passo 4
Para ver se é elipse real (não degenerada), dividimos por
e exigimos que as “semi-axes” dadas por
– Se
, então
,
,
, logo
e
: elipse real.
– Se , então
,
,
, logo
e
: elipse real.
Não há valor em que caia em
ou
, então não há ponto degenerado.
– Se
Não há valor em que
Passo 5
Verificando os casos em que algum coeficiente zera:
– : sobra
, i.e.\
, duas retas paralelas (degenerado, mas não elipse).
– : sobra
, i.e.\
, duas retas paralelas.
– : sobra
, duas retas concorrentes (degenerado hiperbólico).
Logo, as únicas elipses (reais) aparecem quando ou
.
–
–
–
Logo, as únicas elipses (reais) aparecem quando