Determine, caso existam, os valores de lambda in R para os quais a equação dada representa uma elipse, incluindo os casos degenerados:
(lambda-1) x^2+(lambda-3) y^2=lambda-2;

Passo 1

O enunciado dá a equação da forma
(lambda-1)x^2+(lambda-3)y^2=lambda-2
e pede que a gente encontre para quais valores de lambdainR isso é uma elipse (contando também os casos degenerados). O conteúdo aqui é classificação de cônicas sem termo xy: basta analisar os coeficientes de x^2 e y^2.

Passo 2

Identificamos
A = lambda-1, B = lambda-3, C = lambda-2,
de modo que a cônica é Ax^2+By^2=C. Para ser elipse (ou elipse degenerada), precisamos de A e B com o mesmo sinal, isto é
Acdot B>0Long<=ftrightarrow(lambda-1)(lambda-3)>0

Passo 3

Resolvendo
(lambda-1)(lambda-3)>0
temos duas soluções:
lambda<1 ou lambda>3
Nesses intervalos, A e B têm mesmo sinal, então a curva é do tipo elipse (real ou imaginária ou degenerada).

Passo 4

Para ver se é elipse real (não degenerada), dividimos por C e exigimos que as “semi-axes” dadas por
CA>0 e CB>0
– Se lambda<1, então A<0, B<0, C<0, logo tfracCA>0 e tfracCB>0: elipse real.
– Se lambda>3, então A>0, B>0, C>0, logo tfracCA>0 e tfracCB>0: elipse real.
Não há valor em que C=0 caia em lambda<1 ou lambda>3, então não há ponto degenerado.

Passo 5

Verificando os casos em que algum coeficiente zera:
lambda=1Rightarrow A=0: sobra -2y^2=-1, i.e.\ y=pm1raiz2, duas retas paralelas (degenerado, mas não elipse).
lambda=3Rightarrow B=0: sobra 2x^2=1, i.e.\ x=pm1raiz2, duas retas paralelas.
lambda=2Rightarrow C=0: sobra x^2-y^2=0, duas retas concorrentes (degenerado hiperbólico).
Logo, as únicas elipses (reais) aparecem quando lambda<1 ou lambda>3.

Resposta

lambdain(-infty,1)cup(3,infty).

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