Determine as equações na forma paramétrica e na forma simétricas (quando existirem) das seguintes retas:
A reta paralela ao eixo z que passa pelo ponto (1,2, 1)
r:l x=1 y=2 z=1+t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações da reta que é paralela ao eixo z e passa pelo ponto (1,2,1), nas formas paramétrica e simétrica (quando existir). O conteúdo envolvido é a representação de retas no espaço a partir de um ponto e de um vetor direção.

Passo 2

Uma reta paralela ao eixo z tem vetor direção
v = (0,0,1)
Partindo do ponto P0=(1,2,1), a forma paramétrica usa um parâmetro t e fica:
x = 1 + 0cdot t = 1, y = 2 + 0cdot t = 2, z = 1 + 1cdot t = 1 + t

Passo 3

Para a forma simétrica de uma reta, em geral escrevemos
x - x0a ;=;y - y0b ;=;z - z0c,
onde (a,b,c) são as componentes do vetor direção. Aqui (a,b,c)=(0,0,1), então obteríamos
x-10 = y-20 = z-11
Como não faz sentido dividir por zero, a forma simétrica usual não existe. Em vez disso, a reta pode ser caracterizada como interseção dos planos
x = 1 e y = 2

Resposta

Forma paramétrica:
x = 1, y = 2, z = 1 + t
Forma simétrica: não existe no formato x-10=y-20=z-11; a reta corresponde à interseção dos planos
x=1 e y=2

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