Determine, caso existam, os valores de
para os quais a equação dada representa uma elipse, incluindo os casos degenerados:
.
Passo 1
O enunciado dá a família de cônicas
e pede para achar os valores reais de
para os quais isso representa uma elipse (incluindo casos degenerados).
Conteúdo: classificação de cônicas de segundo grau via o discriminante e estudo de degenerescência por completamento de quadrado.
Conteúdo: classificação de cônicas de segundo grau via o discriminante
Passo 2
Identificamos os coeficientes na forma geral
atribuindo
Para ser elipse (real ou imaginária) precisamos de
isto é
(pois
e só zera em
).
Passo 3
Para estudar degenerescência, completamos quadrado em
. A equação original é
Como
temos
Reagrupando as constantes do lado direito dá
Passo 4
Escrevendo em forma canônica,
Para que essa elipse seja real e não degenerada, ambos os denominadores devem ser positivos:
Como
para
, isso equivale a
Portanto:
- Para
temos uma elipse real não degenerada. - Para
os coeficientes de e de são ambos negativos, levando a soma de termos negativos igual a : não há pontos reais (elipse imaginária, caso degenerado). - Em
a equação vira , vazio de soluções (degeneração imaginária). - Em
a equação reduz a , também sem solução real (degeneração imaginária).
Resposta
Os valores de
para os quais a curva é uma elipse (real ou degenerada) são exatamente
Dentre esses, a elipse é real e não degenerada somente quando
, e é degenerada (sem pontos reais) para
.