Determine, caso existam, os valores de lambda in R para os quais a equação dada representa uma elipse, incluindo os casos degenerados:
(lambda-1)(lambda-2) x^2+(lambda-2) y^2-2 lambda(lambda-2) y=3 lambda^2-lambda^3.

Passo 1

O enunciado dá a família de cônicas
(lambda-1)(lambda-2),x^2 ;+;(lambda-2),y^2;-;2lambda(lambda-2),y ;=;3lambda^2-lambda^3,
e pede para achar os valores reais de lambda para os quais isso representa uma elipse (incluindo casos degenerados).
Conteúdo: classificação de cônicas de segundo grau via o discriminante B^2-4AC e estudo de degenerescência por completamento de quadrado.

Passo 2

Identificamos os coeficientes na forma geral
A,x^2+B,xy+C,y^2+D,x+E,y+F=0
atribuindo
A=(lambda-1)(lambda-2), B=0, C=lambda-2, D=0, E=-2lambda(lambda-2), F=-(3lambda^2-lambda^3)
Para ser elipse (real ou imaginária) precisamos de
B^2-4AC<0 ;Long<=ftrightarrow;-4,(lambda-1)(lambda-2)^2<0 ;Long<=ftrightarrow;(lambda-1)(lambda-2)^2>0,
isto é lambda>1 (pois (lambda-2)^2>=0 e só zera em lambda=2).

Passo 3

Para estudar degenerescência, completamos quadrado em y. A equação original é
(lambda-1)(lambda-2)x^2+(lambda-2)l(y^2-2lambda yr) =3lambda^2-lambda^3
Como
y^2-2lambda y=(y-lambda)^2-lambda^2,
temos
(lambda-1)(lambda-2)x^2+(lambda-2)(y-lambda)^2 ;-;lambda^2(lambda-2) ;=;3lambda^2-lambda^3
Reagrupando as constantes do lado direito dá
(lambda-1)(lambda-2)x^2+(lambda-2)(y-lambda)^2 =lambda^2

Passo 4

Escrevendo em forma canônica,
x^2lambda^2(lambda-1)(lambda-2);+; (y-lambda)^2lambda^2lambda-2 =1
Para que essa elipse seja real e não degenerada, ambos os denominadores devem ser positivos:
lambda^2(lambda-1)(lambda-2)>0 e lambda^2lambda-2>0
Como lambda^2>0 para lambdaneq0, isso equivale a
(lambda-1)(lambda-2)>0 e lambda-2>0 ;Long<=ftrightarrow; lambda>2
Portanto:
  • Para lambda>2 temos uma elipse real não degenerada.
  • Para 1<lambda<2 os coeficientes de x^2 e de (y-lambda)^2 são ambos negativos, levando a soma de termos negativos igual a lambda^2>0: não há pontos reais (elipse imaginária, caso degenerado).
  • Em lambda=2 a equação vira 0=4, vazio de soluções (degeneração imaginária).
  • Em lambda=1 a equação reduz a (y-1)^2+1=0, também sem solução real (degeneração imaginária).

Resposta

Os valores de lambda para os quais a curva é uma elipse (real ou degenerada) são exatamente
lambda>1
Dentre esses, a elipse é real e não degenerada somente quando lambda>2, e é degenerada (sem pontos reais) para 1<lambda<=2.

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