Verifique quais das equações abaixo definem superfícies esféricas e determine o centro e o raio daquelas que o forem.
3 x^2+3 y^2+3 z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
3x^2+3y^2+3z^2=1
define uma superfície esférica e, em caso afirmativo, determinar seu centro e seu raio. O conteúdo aqui é a identificação da forma padrão de uma esfera em R^3, que é
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2,
onde (a,b,c) é o centro e r o raio.

Passo 2

Para comparar com a forma padrão, primeiro vamos isolar os quadrados dividindo ambos os lados por 3:
x^2 + y^2 + z^2 = 13

Passo 3

Na equação
x^2 + y^2 + z^2 = 13
não aparecem termos lineares em x, y ou z, o que significa que o centro está na origem, isto é,
a = 0, b = 0, c = 0
Além disso, o lado direito nos dá
r^2 = 13Longrightarrow r = raiz13 = 1raiz3

Resposta

A equação define uma superfície esférica com centro em (0,0,0) e raio r = tfrac1raiz3.

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