Determine a reta d e o ponto F, da definição unificada das cônicas, correspondente a hipérbole cuja equação é x^2a^2-y^2b^2=1. Fazer o mesmo para uma elipse e uma parábola.

Passo 1

O enunciado pede, para cada tipo de cônica, encontrar uma reta d (directriz) e um ponto F (foco) tais que o lugar geométrico seja
Pmid PF = e;dist(P,d),
onde e é a excentricidade. Vamos aplicar essa definição unificada às três cônicas canônicas: hipérbole, elipse e parábola.

Passo 2

Para a hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1
sabemos que as abscissas dos focos são pm c com
c^2=a^2+b^2,
logo
F=(c,0), e=ca>1
A directriz correspondente ao ramo à direita é a reta
d:;x=ae=a^2c

Passo 3

Para a elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
os focos ficam em pm c com
c^2=a^2-b^2,
logo
F=(c,0), e=ca<1
A directriz correspondente ao ramo direito é
d:;x=ae=a^2c

Passo 4

Para a parábola no formato canônico
y^2=4px
assumimos excentricidade e=1. Tomando
F=(p,0)
e a directriz
d:;x=-p,
vemos que, para qualquer ponto P=(x,y),
PF = dist(P,d)
se e só se se satisfaz y^2=4px, recuperando a equação da parábola.

Resposta

Hipérbole x^2a^2-y^2b^2=1:
F=(raiza^2+b^2,0),
d:;x=dfraca^2raiza^2+b^2.
Elipse x^2a^2+y^2b^2=1:
F=(raiza^2-b^2,0),
d:;x=dfraca^2raiza^2-b^2.
Parábola y^2=4px:
F=(p,0),
d:;x=-p.

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