Determine em quais casos as matrizes dadas estão na forma escalonada e escalonada reduzida. (Justifique!)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar em quais situações a matriz dada está na forma escalonada e na forma escalonada reduzida. O conteúdo que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente sobre formas escalonadas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são essas formas e verificar se a matriz fornecida atende aos critérios de cada uma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma forma escalonada. Uma matriz está na forma escalonada se:
- Todas as linhas nulas estão na parte de baixo da matriz.
- O primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de “pivô”) está à direita do pivô da linha anterior.
- Todos os elementos abaixo de um pivô são zeros.
Agora, a forma escalonada reduzida (ou rref, do inglês reduced row echelon form) tem requisitos adicionais:
- Cada pivô é igual a 1.
- Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna.
Passo 3
Vamos analisar a matriz dada:
Essa é uma matriz nula, ou seja, todos os elementos são zero. Vamos verificar se ela atende aos critérios das formas escalonada e escalonada reduzida.
Para a forma escalonada:
- Todas as linhas nulas estão na parte de baixo: Aqui, todas as linhas são nulas, então essa condição é satisfeita.
- Pivôs à direita: Como não há pivôs (todos os elementos são zero), essa condição é satisfeita de forma trivial.
- Zeros abaixo dos pivôs: Novamente, como não há pivôs, essa condição também é satisfeita.
Portanto, a matriz está na forma escalonada.
Para a forma escalonada reduzida:
- Cada pivô é igual a 1: Não há pivôs na matriz, então essa condição é satisfeita de forma trivial.
- Cada pivô é o único não zero em sua coluna: Novamente, sem pivôs, essa condição também é satisfeita.
Portanto, a matriz também está na forma escalonada reduzida.
Resposta
A matriz dada está tanto na forma escalonada quanto na forma escalonada reduzida em todos os casos.