Usando substituição de trás para frente, determine as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares
x1-2 x2+x3 & =1 x2-2 x3 & =-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando substituição de trás para frente. O que isso significa é que vamos começar pela equação que tem menos incógnitas para ir simplificando o sistema passo a passo. Precisamos entender um pouquinho sobre como manipular equações para isolar as variáveis e substituir uma na outra. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações que temos:
x1 - 2x2 + x3 & = 1 (Equação 1) x2 - 2x3 & = -2 (Equação 2) çãçã
A Equação 2 tem menos variáveis do que a Equação 1, então vamos começar por ela. Nosso objetivo aqui é isolar uma das variáveis. Vamos isolar x2 .
Para isolar x2 , simplesmente adicionamos 2x3 em ambos os lados da Equação 2:
x2 = 2x3 - 2
Agora temos x2 expresso em função de x3 .

Passo 3

Com x2 expresso em termos de x3 , podemos substituir essa expressão na Equação 1. Isso vai nos ajudar a encontrar x1 também em termos de x3 .
Substituindo x2 = 2x3 - 2 na Equação 1:
x1 - 2(2x3 - 2) + x3 = 1
Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Multiplicamos 2 por (2x3 - 2) :
x1 - 4x3 + 4 + x3 = 1
  1. Agora, combinamos os termos semelhantes:
x1 - 3x3 + 4 = 1
  1. Para isolar x1 , subtraímos 4 de ambos os lados:
x1 - 3x3 = -3
  1. Finalmente, adicionamos 3x3 em ambos os lados para achar x1 :
x1 = 3x3 - 3
Agora temos x1 em termos de x3 .

Passo 4

Até agora, conseguimos expressar x1 e x2 em função de x3 :
x1 = 3x3 - 3 x2 = 2x3 - 2
Como não temos mais equações para relacionar x3 , podemos considerar x3 como uma variável livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Vamos chamar x3 de t para facilitar.
Então, temos:
x1 = 3t - 3 x2 = 2t - 2 x3 = t

Resposta

As soluções do sistema são todas as triplas (x1, x2, x3) onde:
x1 = 3t - 3 x2 = 2t - 2 x3 = t
para qualquer número real t . Ou seja, as soluções podem ser expressas como:
(x1, x2, x3) = (3t - 3, 2t - 2, t) para todo t in R

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