Usando substituição de trás para frente, determine as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando substituição de trás para frente. O que isso significa é que vamos começar pela equação que tem menos incógnitas para ir simplificando o sistema passo a passo. Precisamos entender um pouquinho sobre como manipular equações para isolar as variáveis e substituir uma na outra. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas equações que temos:
A Equação 2 tem menos variáveis do que a Equação 1, então vamos começar por ela. Nosso objetivo aqui é isolar uma das variáveis. Vamos isolar
.
Para isolar
, simplesmente adicionamos
em ambos os lados da Equação 2:
Agora temos
expresso em função de
.
Passo 3
Com
expresso em termos de
, podemos substituir essa expressão na Equação 1. Isso vai nos ajudar a encontrar
também em termos de
.
Substituindo
na Equação 1:
Vamos simplificar isso passo a passo:
- Multiplicamos
por :
- Agora, combinamos os termos semelhantes:
- Para isolar
, subtraímos 4 de ambos os lados:
- Finalmente, adicionamos
em ambos os lados para achar :
Agora temos
em termos de
.
Passo 4
Até agora, conseguimos expressar
e
em função de
:
Como não temos mais equações para relacionar
, podemos considerar
como uma variável livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Vamos chamar
de
para facilitar.
Então, temos:
Resposta
As soluções do sistema são todas as triplas
onde:
para qualquer número real
. Ou seja, as soluções podem ser expressas como: