Determine em quais casos as matrizes dadas estão na forma escalonada e escalonada reduzida. (Justifique!)
[lll 1 & 0 & 2 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a matriz dada está na forma escalonada e na forma escalonada reduzida. Pra resolver isso, precisamos entender o que caracteriza cada uma dessas formas e aplicar esses critérios na matriz que a gente tem:
[lll 1 & 0 & 2 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 ]

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a forma escalonada (ou forma de escada). Uma matriz está nessa forma se ela satisfaz três condições:
  1. Primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
  2. Todas as linhas nulas (se houver) estão na parte de baixo da matriz.
  3. Todos os elementos abaixo de um pivô são zero.
Vamos verificar cada condição:
  • Linha 1: O pivô é 1, na primeira coluna.
  • Linha 2: O pivô é 3, na terceira coluna, que está à direita do pivô da linha 1.
  • Linha 3: O pivô é 1, na segunda coluna. Aqui temos um problema: o pivô da linha 3 (coluna 2) está à esquerda do pivô da linha 2 (coluna 3), o que não está correto para a forma escalonada.
Então, a matriz não está na forma escalonada.

Passo 3

Agora vamos para a forma escalonada reduzida. Além de cumprir todas as condições da forma escalonada, a forma escalonada reduzida exige que:
  1. Cada pivô é igual a 1.
  2. Cada pivô é o único número não nulo na sua coluna.
Analisando a matriz:
  • Linha 1: O pivô é 1, ok.
  • Linha 2: O pivô é 3, que não é 1. Já falhou aqui.
  • Linha 3: O pivô é 1, mas já temos um problema na linha 2.
Além disso, já vimos que a forma escalonada nem foi atendida, então definitivamente a matriz não está na forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz não está na forma escalonada nem na forma escalonada reduzida.

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