Determine em quais casos as matrizes dadas estão na forma escalonada e escalonada reduzida. (Justifique!)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a matriz
A = 5 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 0
está em forma escalonada (row echelon form) e em forma escalonada reduzida (reduced row echelon form). Vamos usar as definições de ambas as formas para verificar cada condição.
Passo 2
Definição de forma escalonada (row echelon form): 1. Todas as linhas nulas (se houver) estão abaixo das linhas não nulas. 2. O primeiro elemento não nulo (leading entry) de cada linha não nula (= pivô) fica estritamente à direita do pivô da linha anterior.
Passo 3
Verificação de forma escalonada em A: 1. A terceira linha é toda zero e está abaixo das duas primeiras — ok. 2. Na primeira linha, o pivô é o 5 na coluna 1. 3. Na segunda linha, o pivô é o 1 na coluna 2, que está à direita da coluna 1 — ok.
Logo, A satisfaz ambas as condições e está em forma escalonada.
Passo 4
Definição de forma escalonada reduzida (reduced row echelon form):
Além de estar em forma escalonada, deve valer: 1. Cada pivô é igual a 1. 2. Em cada coluna de pivô, todos os outros elementos dessa coluna são zero.
Passo 5
Verificação de forma escalonada reduzida em A: 1. O pivô da primeira linha é 5, não 1 — falha na condição (1). 2. Apesar de na coluna do segundo pivô (coluna 2) todos os outros elementos serem zero, a primeira condição já impede que seja reduzida.
Portanto, Anão está em forma escalonada reduzida.
Resposta
A matriz está em forma escalonada, mas não está em forma escalonada reduzida.