Determine em quais casos as matrizes dadas estão na forma escalonada e escalonada reduzida. (Justifique!)
[lll 1 & 3 & 4 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 3 & 4 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
e pede para verificar se ela está em forma escalonada (row echelon form) e em forma escalonada reduzida (reduced row echelon form). Vamos usar as definições dessas duas formas.

Passo 2

Definição de forma escalonada (row echelon form):
  1. Todas as linhas nulas (se houver) ficam abaixo das não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivô) está estritamente à direita do pivô da linha imediatamente acima.

Passo 3

Aplicando à matriz A:
  • Não há linhas nulas.
  • Linha 1 tem pivô em coluna 1.
  • Linha 2 tem pivô em coluna 2, que está à direita do pivô da linha 1.
  • Linha 3 tem pivô em coluna 3, que está à direita do pivô da linha 2.
    Portanto, A satisfaz os critérios de forma escalonada.

Passo 4

Definição de forma escalonada reduzida (reduced row echelon form):
Além das condições da forma escalonada, exige-se ainda que:
  1. Cada pivô seja igual a 1.
  2. Em cada coluna de um pivô, todos os outros elementos (acima e abaixo) sejam zero.

Passo 5

Verificando em A:
  • Os pivôs já valem 1, ok.
  • Mas na coluna do pivô da linha 2 (coluna 2), existe o valor 3 acima dele em A1,2.
  • Na coluna do pivô da linha 3 (coluna 3), existe o valor 4 acima em A1,3.
    Logo, não estão zerados os elementos acima dos pivôs, então A não está em forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz está em forma escalonada, mas não está em forma escalonada reduzida.

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