Determine em quais casos as matrizes dadas estão na forma escalonada e escalonada reduzida. (Justifique!)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 1 & 3 & 4 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
e pede para verificar se ela está em forma escalonada (row echelon form) e em forma escalonada reduzida (reduced row echelon form). Vamos usar as definições dessas duas formas.
Passo 2
Definição de forma escalonada (row echelon form):
Todas as linhas nulas (se houver) ficam abaixo das não nulas.
Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivô) está estritamente à direita do pivô da linha imediatamente acima.
Passo 3
Aplicando à matriz A:
Não há linhas nulas.
Linha 1 tem pivô em coluna 1.
Linha 2 tem pivô em coluna 2, que está à direita do pivô da linha 1.
Linha 3 tem pivô em coluna 3, que está à direita do pivô da linha 2.
Portanto, A satisfaz os critérios de forma escalonada.
Passo 4
Definição de forma escalonada reduzida (reduced row echelon form):
Além das condições da forma escalonada, exige-se ainda que:
Cada pivô seja igual a 1.
Em cada coluna de um pivô, todos os outros elementos (acima e abaixo) sejam zero.
Passo 5
Verificando em A:
Os pivôs já valem 1, ok.
Mas na coluna do pivô da linha 2 (coluna 2), existe o valor 3 acima dele em A1,2.
Na coluna do pivô da linha 3 (coluna 3), existe o valor 4 acima em A1,3.
Logo, não estão zerados os elementos acima dos pivôs, então Anão está em forma escalonada reduzida.
Resposta
A matriz está em forma escalonada, mas não está em forma escalonada reduzida.