Determine em quais casos as matrizes dadas estão na forma escalonada e escalonada reduzida. (Justifique!)
[cccc 1 & 0 & 0 & 7 0 & 1 & 0 & 10 0 & 0 & 1 & 5 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a matriz fornecida está na forma escalonada ou na forma escalonada reduzida. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos diferentes formas de matrizes para facilitar a resolução de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é cada uma dessas formas e verificar se a matriz dada atende aos critérios de cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a forma escalonada de uma matriz. Uma matriz está na forma escalonada se ela satisfaz as seguintes condições:
  1. Todas as linhas nulas estão na parte de baixo da matriz.
  2. O primeiro número não nulo de cada linha, chamado de pivô, está à direita do pivô da linha acima.
  3. Os pivôs são sempre iguais a 1.
Vamos dar uma olhada na matriz que temos:
[cccc 1 & 0 & 0 & 7 0 & 1 & 0 & 10 0 & 0 & 1 & 5 ]

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz atende às condições da forma escalonada:
  1. Linhas nulas na parte de baixo: Nossa matriz não tem linhas completamente nulas, então essa condição está satisfeita.
  2. Pivôs à direita: O primeiro pivô está na primeira coluna na primeira linha, o segundo pivô está na segunda coluna na segunda linha, e o terceiro pivô está na terceira coluna na terceira linha. Cada pivô está à direita do pivô da linha anterior.
  3. Pivôs iguais a 1: Todos os pivôs são 1.
Como a matriz satisfaz todas essas condições, ela está na forma escalonada.

Passo 4

Agora vamos ver sobre a forma escalonada reduzida. Além de satisfazer todas as condições da forma escalonada, uma matriz está na forma escalonada reduzida se, além disso:
  1. Cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna.
Vamos verificar a matriz:
[cccc 1 & 0 & 0 & 7 0 & 1 & 0 & 10 0 & 0 & 1 & 5 ]
Observamos que, em cada coluna que contém um pivô (as três primeiras colunas), não há outros números diferentes de zero. Ou seja, cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna.

Resposta

A matriz está tanto na forma escalonada quanto na forma escalonada reduzida, pois satisfaz todas as condições necessárias para ambas as formas.

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