Determine em quais casos as matrizes dadas estão na forma escalonada e escalonada reduzida. (Justifique!)
[lll 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz zero de ordem 3times3:
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
e pede para verificar se ela está em forma escalonada por linhas e em forma escalonada reduzida por linhas. Vamos usar as definições padrão dessas formas.

Passo 2

Definição de forma escalonada por linhas (forma de Gauss):
  1. Toda linha nula (linha com todos os elementos iguais a zero) deve aparecer abaixo de qualquer linha não nula.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de pivô) deve estar à direita do pivô da linha imediatamente acima.
    No caso da matriz zero, não há nenhuma linha não nula, logo todas as linhas são nulas e ocupam, trivialmente, as três primeiras posições. Não há pivôs a comparar, então nenhuma das condições é violada. Portanto, ela está em forma escalonada por linhas.

Passo 3

Definição de forma escalonada reduzida por linhas (forma de Gauss–Jordan):
além de satisfazer os requisitos da forma escalonada, deve ter
  1. Cada pivô igual a 1.
  2. Em cada coluna de pivô, os demais elementos devem ser 0.
    Mais uma vez, na matriz zero não existe pivô algum. As condições adicionais também são satisfeitas de modo vacuamente verdadeiro (não há pivôs para exigir valor 1 nem para zerificar as outras entradas). Logo, ela também está em forma escalonada reduzida por linhas.

Resposta

A matriz zero de ordem 3times3 está simultaneamente em forma escalonada por linhas e em forma escalonada reduzida por linhas.

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