Determine f+g, f-g, f cdot g e f / g, se:
a) f(x)=2 x, g(x)=x^2+2
b) f(x)=3 x-2, g(x)=|x+2|
c) f(x)=raizx+1, g(x)=x^2-1
d) f(x)=raizx+1, g(x)=raizx+3
e) f(x)=x^4, g(x)=(1x)^4
f) f(x)=1x, g(x)=x^2
g) f(x)=x^3+x^2, g(x)=(1x^2)^4
h) f(x)=1x^2, g(x)=x^2

Passo 1

O enunciado pede para cada par de funções f e g calcular as quatro operações: soma, diferença, produto e quociente. Vamos usar as definições (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f-g)(x)=f(x)-g(x), (fcdot g)(x)=f(x)cdot g(x) e (f/g)(x)=f(x)/g(x), considerando sempre que g(x)neq0.

Passo 2

Para (a) f(x)=2x e g(x)=x^2+2. Aplicando as definições temos: (f+g)(x)=2x+(x^2+2)=x^2+2x+2; (f-g)(x)=2x-(x^2+2)=-x^2+2x-2; (fcdot g)(x)=2x(x^2+2)=2x^3+4x; (f/g)(x)=2xx^2+2.

Passo 3

Para (b) f(x)=3x-2 e g(x)=|x+2|. Então: (f+g)(x)=3x-2+|x+2|; (f-g)(x)=3x-2-|x+2|; (fcdot g)(x)=(3x-2)cdot|x+2|; (f/g)(x)=3x-2|x+2|.

Passo 4

Para © f(x)=raizx+1 e g(x)=x^2-1. Então: (f+g)(x)=raizx+1+(x^2-1); (f-g)(x)=raizx+1-(x^2-1)=raizx+1-x^2+1; (fcdot g)(x)=raizx+1,(x^2-1); (f/g)(x)=raizx+1x^2-1.

Passo 5

Para (d) f(x)=raizx+1 e g(x)=raizx+3. Então: (f+g)(x)=raizx+1+raizx+3; (f-g)(x)=raizx+1-raizx+3; (fcdot g)(x)=raizx+1cdotraizx+3=raiz(x+1)(x+3); (f/g)(x)=raizx+1raizx+3=raizx+1x+3.

Passo 6

Para (e) f(x)=x^4 e g(x)=(1/x)^4=x^-4. Então: (f+g)(x)=x^4+x^-4; (f-g)(x)=x^4-x^-4; (fcdot g)(x)=x^4cdot x^-4=1; (f/g)(x)=x^4/x^-4=x^8.

Passo 7

Para (f) f(x)=1/x=x^-1 e g(x)=x^2. Então: (f+g)(x)=x^-1+x^2; (f-g)(x)=x^-1-x^2; (fcdot g)(x)=x^-1cdot x^2=x; (f/g)(x)=x^-1/x^2=x^-3=1/x^3.

Passo 8

Para (g) f(x)=x^3+x^2 e g(x)=(1/x^2)^4=x^-8. Então: (f+g)(x)=x^3+x^2+x^-8; (f-g)(x)=x^3+x^2-x^-8; (fcdot g)(x)=(x^3+x^2)x^-8=x^-5+x^-6; (f/g)(x)=(x^3+x^2)/x^-8=x^11+x^10.

Passo 9

Para (h) f(x)=1/x^2=x^-2 e g(x)=x^2. Então: (f+g)(x)=x^-2+x^2; (f-g)(x)=x^-2-x^2; (fcdot g)(x)=x^-2cdot x^2=1; (f/g)(x)=x^-2/x^2=x^-4=1/x^4.

Resposta

a) (f+g)(x)=x^2+2x+2, (f−g)(x)=-x^2+2x-2, (f⋅g)(x)=2x^3+4x, (f/g)(x)=\frac{2x}{x^2+2}. b) (f+g)(x)=3x−2+|x+2|, (f−g)(x)=3x−2−|x+2|, (f⋅g)(x)=(3x−2),|x+2|, (f/g)(x)=\frac{3x−2}{|x+2|}. c) (f+g)(x)=\sqrt{x+1}+x^2−1, (f−g)(x)=\sqrt{x+1}−x^2+1, (f⋅g)(x)=\sqrt{x+1}(x^2−1), (f/g)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2−1}. d) (f+g)(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}, (f−g)(x)=\sqrt{x+1}−\sqrt{x+3}, (f⋅g)(x)=\sqrt{(x+1)(x+3)}, (f/g)(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}. e) (f+g)(x)=x4+x{−4}, (f−g)(x)=x4−x{−4}, (f⋅g)(x)=1, (f/g)(x)=x^8. f) (f+g)(x)=x{−1}+x2, (f−g)(x)=x{−1}−x2, (f⋅g)(x)=x, (f/g)(x)=x^{−3}. g) (f+g)(x)=x3+x2+x^{−8}, (f−g)(x)=x3+x2−x^{−8}, (f⋅g)(x)=x{−5}+x{−6}, (f/g)(x)=x{11}+x{10}. h) (f+g)(x)=x{−2}+x2, (f−g)(x)=x{−2}−x2, (f⋅g)(x)=1, (f/g)(x)=x^{−4}.

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