Determine o centro da circunferência dada pela interseção das superfícies z=x^2+y^2 e x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o centro da circunferência definida pela interseção da parábola em revolução
;z = x^2 + y^2
com a esfera
;x^2 + y^2 + z^2 = 1.
O que fazemos é achar a altura z comum a todos os pontos da curva de interseção e ver que ela está num plano paralelo a xy.

Passo 2

Substituímos z = x^2+y^2 na equação da esfera:
x^2 + y^2 + l(x^2+y^2r)^2 = 1
Chamando
;r^2 = x^2+y^2,
fica
r^2 + (r^2)^2 = 1 Longrightarrow r^4 + r^2 - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática em r^2:
r^2 = -1 pm raiz1 + 42 = -1 pm raiz52
Como r^2>=0, tomamos
r^2 = raiz5-12

Passo 4

A parábola dá z = x^2+y^2 = r^2. Logo todos os pontos da curva satisfazem
z = raiz5-12
Isso mostra que a circunferência está contida no plano
;z = tfracraiz5-12,
centrada na projeção de todos os seus pontos em xy, que é a origem.

Passo 5

Portanto, o centro da circunferência é
l(0,;0,;tfracraiz5-12r)

Resposta

O centro é ,(0,0,tfracraiz5-12).

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