Identifique e descreva as superfícies abaixo:
2 x^2+2 y^2+5 z^2+2 x y+2 y z+2 x z+8=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície quádrupla em R^3 dada por
2x^2+2y^2+5z^2+2xy+2yz+2xz+8=0
O conteúdo é classificação de superfícies definidas por forma quadrática, e vamos usar a forma matricial da quádrupla e o critério de Sylvester para determinação de definitude.

Passo 2

Como não há termos lineares, a equação pode ser escrita em forma matricial como
x^TQ,x+8=0,
onde x=(x,y,z)^T e
Q= 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 5 ,
pois os coeficientes 2xy,2xz,2yz correspondem a entradas 1 em cada posição simétrica de Q.

Passo 3

Para classificar Q usamos o critério de Sylvester, verificando os menores principais:
D1=2>0, D2=det!2&11&2=3>0,
D3=det Q =det2&1&11&2&11&1&5 =13>0
Como todos os Dk>0, Q é definida positiva.

Passo 4

No caso de forma definida positiva tem-se
x^TQ,x>=0 Longrightarrow x^TQ,x+8>=8>0,
portanto a equação x^TQ,x+8=0 não admite solução real.

Resposta

A superfície é um elipsoide imaginário (não há pontos reais), ou seja, seu conjunto de pontos em R^3 é vazio.

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