O ponto P(4,3) pertence à elipse, cujos focos e centro são: F 1(0,5), F 2(0,-5) e C(0,0). Determine a equação dessa elipse.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a equação da elipse que satisfaz as seguintes informações dadas:
\;P(4,3) pertence à elipse; os focos são \;F_1(0,5) e \;F_2(0,-5); o centro é \;C(0,0).
Dados relevantes listados:
F_1(0,5),\quad F_2(0,-5),\quad C(0,0),\quad P(4,3).
Não há outras perguntas — a missão é escrever a equação da elipse que tem esses focos e passa por P.

Passo 2

Conceitos e notação que vou usar (explicando bem):
  • Uma elipse pode ser definida como o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias até os dois focos é constante. Essa constante é 2a, onde a é o semieixo maior (metade do eixo maior).
  • Denoto por c a distância do centro a cada foco; aqui os focos estão simetricamente acima e abaixo do centro, então c é positivo e \;c= distância entre (0,0) e (0,5).
  • Denoto por b o semieixo menor. As relações clássicas entre a,b,c são
c^2 = a^2 - b^2.
  • Como os focos têm mesma abscissa x=0 e diferem na coordenada y, o eixo maior é vertical. A forma padrão da elipse com centro na origem e eixo maior vertical é
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1,
com a>b>0.
  • Aqui já vejo que c é a distância do centro a (0,5), logo
c = 5.

Passo 3

Calcular 2a usando a definição (soma das distâncias até os focos) e o ponto P(4,3).
  • Distância de P até F_1(0,5):
PF_1 = \sqrt{(4-0)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}.
  • Distância de P até F_2(0,-5):
PF_2 = \sqrt{(4-0)^2 + (3-(-5))^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}.
  • Simplifico as raízes:
\sqrt{20} = 2\sqrt{5},\qquad \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.
  • Soma das distâncias:
PF_1 + PF_2 = 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 6\sqrt{5}.
Pela definição da elipse, essa soma é 2a. Portanto
2a = 6\sqrt{5}\quad\Rightarrow\quad a = 3\sqrt{5}.
  • Calculo a^2:
a^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45.

Passo 4

Encontrar b^2 usando a relação entre a,b,c:
c^2 = a^2 - b^2 \quad\Rightarrow\quad b^2 = a^2 - c^2.
Substituo os valores conhecidos a^2=45 e c=5\Rightarrow c^2=25:
b^2 = 45 - 25 = 20.

Passo 5

Escrever a equação padrão da elipse com eixo maior vertical e substituir a^2 e b^2:
A forma padrão é
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1.
Substituindo b^2=20 e a^2=45 obtenho
\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{45} = 1.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova para conferir): checar que P(4,3) satisfaz a equação.
\frac{4^2}{20} + \frac{3^2}{45} = \frac{16}{20} + \frac{9}{45} = 0,8 + 0,2 = 1,
logo P realmente está na elipse — tudo consistente. Força aí, você já tem a equação e uma verificação simples!

Resposta

\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{45} = 1

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