ponto
pertence à elipse, cujos focos e centro são:
e
. Determine a equação dessa elipse.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a equação da elipse que satisfaz as seguintes informações dadas:
pertence à elipse; os focos são
e
; o centro é
.
Dados relevantes listados:
Dados relevantes listados:
Não há outras perguntas — a missão é escrever a equação da elipse que tem esses focos e passa por
.
Passo 2
Conceitos e notação que vou usar (explicando bem):
- Uma elipse pode ser definida como o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias até os dois focos é constante. Essa constante é
, onde é o semieixo maior (metade do eixo maior). - Denoto por
a distância do centro a cada foco; aqui os focos estão simetricamente acima e abaixo do centro, então é positivo e distância entre e . - Denoto por
o semieixo menor. As relações clássicas entre são
- Como os focos têm mesma abscissa
e diferem na coordenada , o eixo maior é vertical. A forma padrão da elipse com centro na origem e eixo maior vertical é
com
.
- Aqui já vejo que
é a distância do centro a , logo
Passo 3
Calcular
usando a definição (soma das distâncias até os focos) e o ponto
.
- Distância de
até :
- Distância de
até :
- Simplifico as raízes:
- Soma das distâncias:
Pela definição da elipse, essa soma é
. Portanto
- Calculo
:
Passo 4
Encontrar
usando a relação entre
:
Substituo os valores conhecidos
e
:
Passo 5
Escrever a equação padrão da elipse com eixo maior vertical e substituir
e
:
A forma padrão é
A forma padrão é
Substituindo
e
obtenho
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova para conferir): checar que
satisfaz a equação.
logo
realmente está na elipse — tudo consistente. Força aí, você já tem a equação e uma verificação simples!