Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, os focos e a excentricidade de cada elipse:
(a) (x-1)^225+(y-1)^216=1

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar as principais características da elipse dada por (x-1)^225+(y-1)^216=1. O conteúdo aqui é geometria analítica de cônicas, mais especificamente elipses, e vamos precisar identificar centro, comprimentos dos semieixos, orientação, focos e excentricidade.

Passo 2

Para começar, comparando com a forma padrão de elipse centrada em (h,k), que é (x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1, vemos que o centro é (h,k)=(1,1). Além disso temos
a^2=25e b^2=16
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a=raiz25=5e b=raiz16=4

Passo 3

Como a^2>b^2, o eixo maior é paralelo ao eixo x.
O eixo maior é o segmento de reta de comprimento 2a=10 centrado em (1,1) e de equação y=1.
O eixo menor é o segmento de reta de comprimento 2b=8 centrado em (1,1) e de equação x=1.

Passo 4

Para achar os focos, usamos c^2=a^2-b^2, ou seja
c^2=25-16=9Rightarrow c=3

Passo 5

Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em (hpm c,k), isto é
(1-3,1)=(-2,1)e(1+3,1)=(4,1)

Passo 6

A excentricidade da elipse é dada por e=tfracca=tfrac35=0,6.

Resposta

Centro: (1,1); eixo maior: segmento horizontal de comprimento 10 centrado em (1,1) (equação y=1); eixo menor: segmento vertical de comprimento 8 centrado em (1,1) (equação x=1); focos: (-2,1) e (4,1); excentricidade: 3/5.

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