Determine as equações das seguintes parábolas:
(a) foco
, diretriz horizontal e vértice sobre a reta
;
(a) foco
Passo 1
Vamos resumir: temos uma parábola com foco F=(2,1), diretriz horizontal e vértice sobre a reta 3x+7y+1=0. O conteúdo é a definição de parábola via foco e diretriz, usando a medida p (distância do vértice ao foco) e a equação padrão.
Passo 2
Como a diretriz é horizontal, ela tem forma y=d e o eixo da parábola é vertical. O vértice V fica na mesma abscissa do foco, x_V=2, e sua ordenada é o ponto médio entre y_F=1 e y=d, ou seja y_V=(1+d)/2. Logo V=(2,(1+d)/2).
Passo 3
Impondo que V satisfaça 3x+7y+1=0, substituímos x=2 e y=(1+d)/2: 3·2 + 7·((1+d)/2) +1 = 0. Resolvendo: 6 + (7+7d)/2 +1 =0 ⇒ multiplicando por 2: 14 +7+7d =0 ⇒ 7d = -21 ⇒ d = -3. Então a diretriz é y=-3 e o vértice V=(2,(1+(-3))/2)=(2,-1).
Passo 4
Calculamos p = distância de V ao foco: p = 1 - (-1) = 2. Como o foco está acima do vértice, a parábola abre para cima. A equação padrão é (x - x_V)^2 = 4p(y - y_V). Substituindo x_V=2, y_V=-1 e p=2, obtemos (x-2)^2 = 8(y+1).