Determine os vértices, os focos e as diretrizes das parábolas:
(d) 169 x^2+25 y^2-338 x+200 y-3656=0

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos os vértices, os focos e as diretrizes da cônica dada por
169x^2 + 25y^2 - 338x + 200y - 3656 = 0
Percebemos que há termos em x^2 e y^2 com sinais iguais e coeficientes diferentes, então trata-se de uma elipse. Para resolver, vamos completar quadrados e colocar na forma padrão de elipse.

Passo 2

Começamos agrupando os termos em x e y e levando o termo constante para o lado direito:
169(x^2 - 2x) + 25(y^2 + 8y) = 3656
Agora completamos os quadrados dentro dos parênteses:
x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1,
y^2 + 8y = (y+4)^2 - 16
Substituindo isso na equação:

Passo 3

Distribuindo e reorganizando temos
169igl((x-1)^2 - 1r) + 25igl((y+4)^2 - 16r) = 3656,
169(x-1)^2 - 169 + 25(y+4)^2 - 400 = 3656,
169(x-1)^2 + 25(y+4)^2 = 3656 + 169 + 400 = 4225
Como 4225 = 65^2, dividimos ambos os lados por 4225:

Passo 4

Obtemos a forma padrão da elipse:
(x-1)^225 + (y+4)^2169 = 1
Dessa forma vemos que o centro é (1, -4), o semieixo maior é a = raiz169 = 13 na direção vertical (pois o denominador maior está com y) e o semieixo menor é b = raiz25 = 5 na direção horizontal.

Passo 5

Para achar os vértices usamos o fato de que eles ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo maior (vertical). Assim:
(x,y) = l(1, -4 pm 13r)
Logo os vértices são
(1, 9)e(1, -17)

Passo 6

O valor c, distância do centro aos focos, satisfaz c^2 = a^2 - b^2 = 169 - 25 = 144, ou seja c = 12. Os focos estão ao longo do eixo maior:
(x,y) = l(1, -4 pm 12r)
Logo os focos são
(1, 8)e(1, -16)

Passo 7

A excentricidade da elipse é e = c/a = 12/13. As diretrizes de uma elipse vertical centrada em (h,k) são dadas por
y = k pm ae
Aqui a/e = 13/(12/13) = 169/12, e k = -4. Então as diretrizes são
y = -4 pm 16912,
isto é
y = 12112e y = -21712

Resposta

Vértices: (1, 9) e (1, -17); Focos: (1, 8) e (1, -16); Diretrizes: y = 121/12 e y = -217/12.

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