Resolva os problemas
(e) \left\{\begin{array}{l}u_{t t}=a^{2} u_{x x}, 0<x<L, t>0, \\\ u(0, t)=0, u_{x}(L, t)=0, t>0, \\\ u(x, 0)=\left\{\begin{array}{ll}1, & L / 2-1<x<L / 2+1 \\\\ 0, & \text { caso contário. }\end{array}(L>2), u_{t}(x, 0)=0,0 \leq x \leq L,\right.\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação da onda com condições de contorno mistas e dados iniciais tipo pulso. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede:
com a informação adicional L>2 (ou seja, o pulso cabe totalmente no intervalo [0,L]).
O objetivo é encontrar u(x,t) para 0\le x\le L,\; t\ge0, explicitando a série de modos e os coeficientes determinados pela condição inicial f(x).]
Passo 2
Método: separação de variáveis (assumir solução da forma produto em x e t) e obter os autovalores e autofunções espaciais que satisfazem as condições de contorno. Vou mostrar passo a passo.
Assuma uma solução separável u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na PDE:
X(x)T''(t)=a^{2}X''(x)T(t).
Dividindo por a^{2}X(x)T(t) (assumindo função não nula):
Agora precisamos escolher \lambda que possibilite soluções não-triviais que satisfaçam X(0)=0 e X'(L)=0. Vamos analisar os casos \lambda\le0 e \lambda>0.
Se \lambda=0: então X''=0\Rightarrow X(x)=Ax+B. Condição X(0)=0 dá B=0. Condição X'(L)=A=0 implica X\equiv0 trivial — não serve.
Se \lambda<0: escrever \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. Então X(x)=A e^{\mu x}+B e^{-\mu x}. Aplicando BCs leva novamente à solução trivial por causa das duas condições incompatíveis para função exponencial não nula no intervalo finito.
Portanto devemos ter \lambda>0. Escrevemos \lambda=k^{2} com k>0.
Passo 3
Resolver o problema espacial com \lambda=k^{2}:
Equação espacial:
X''+k^{2}X=0.
Solução geral:
X(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Aplicando X(0)=0 dá A=0. Então
X(x)=B\sin(kx).
A outra condição X'(L)=0 implica
X'(x)=B k\cos(kx),\quad X'(L)=B k\cos(kL)=0.
Para ter B\neq0 e k\neq0 devemos ter \cos(kL)=0. Assim os autovalores k satisfazem
kL=\frac{(2n-1)\pi}{2},\qquad n=1,2,3,\dots
Logo os modos espaciais (autofunções) são, para n\ge1,
Agora usamos as condições iniciais. De u_t(x,0)=0 obtemos
u_t(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} \big(-C_n a k_n\sin(0)+D_n a k_n\cos(0)\big)\sin(k_n x) =\sum_{n=1}^{\infty} D_n a k_n \sin(k_n x)=0.
Como as \sin(k_n x) são ortogonais, isso implica D_n a k_n=0 para todo n, e como a k_n\neq0 temos D_n=0 para todo n. Assim os termos em \sin(a k_n t) desaparecem.
Como f(x) é o pulso que vale 1 apenas no intervalo \big(L/2-1,\;L/2+1\big) e 0 fora, a integral reduz-se a esse subintervalo (lembrando L>2, então o intervalo está contido em [0,L]):