Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante
que abranja a região dada.
a. A região cortada do primeiro quadrante pelo círculo
.
b. A região limitada pelo eixo
e pelo semicírculo
.
Compare suas respostas para os itens (a) e (b).
a. A região cortada do primeiro quadrante pelo círculo
b. A região limitada pelo eixo
Compare suas respostas para os itens (a) e (b).
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de placas finas de densidade constante
sobre duas regiões do círculo de raio
:
– (a) o quarto de disco no primeiro quadrante,
– (b) o semicírculo acima do eixo .
Para qualquer região de área
e densidade uniforme usamos
– (a) o quarto de disco no primeiro quadrante,
– (b) o semicírculo acima do eixo
Para qualquer região
Em coordenadas polares temos
,
e
.
Passo 2
Região (a): quarto de disco em
,
.
A área é
A área é
Para
calculamos
Logo
Por simetria no primeiro quadrante e cálculo análogo de
(substituindo
por
) obtém–se
Passo 3
Região (b): semicírculo em
,
.
A área é
A área é
Para
:
logo
.
Para :
Para
logo
Passo 4
Comparando os resultados:
– No quarto de disco (a) ,
.
– No semicírculo (b) ,
.
Percebe-se que as duas regiões têm a mesma , mas a ausência de simetria em
na região (a) desloca
para a direita.
– No quarto de disco (a)
– No semicírculo (b)
Percebe-se que as duas regiões têm a mesma
Resposta
(a)
(b)
(b)