Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante \delta que abranja a região dada.
a. A região cortada do primeiro quadrante pelo círculo x^{2}+ y^{2}=9.
b. A região limitada pelo eixo x e pelo semicírculo y=\sqrt{9-x^{2}}.
Compare suas respostas para os itens (a) e (b).

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de placas finas de densidade constante \delta sobre duas regiões do círculo de raio 3:
– (a) o quarto de disco no primeiro quadrante,
– (b) o semicírculo acima do eixo x.
Para qualquer região R de área A e densidade uniforme usamos
\bar x = \frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA, \quad \bar y = \frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA.
Em coordenadas polares temos x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Região (a): quarto de disco em 0\le r\le 3, 0\le\theta\le\pi/2.
A área é
A_1 = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{3}d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\tfrac{9}{2}\,d\theta = \frac{9\pi}{4}.
Para \bar x calculamos
\iint_{R}x\,dA = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}(r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\right) \left(\int_{0}^{3}r^{2}\,dr\right) = \bigl[\,\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/2}\cdot\frac{3^{3}}{3} = 1\cdot 9 = 9.
Logo
\bar x = \frac{9}{9\pi/4} = \frac{4}{\pi}.
Por simetria no primeiro quadrante e cálculo análogo de \iint y\,dA (substituindo \cos\theta por \sin\theta) obtém–se
\bar y = \frac{4}{\pi}.

Passo 3

Região (b): semicírculo em 0\le r\le 3, 0\le\theta\le\pi.
A área é
A_2 = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}r\,dr\,d\theta = \frac{9\pi}{2}.
Para \bar x:
\iint_{R}x\,dA = \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta \int_{0}^{3}r^{2}\,dr = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi}\cdot 9 = 0,
logo \bar x=0.
Para \bar y:
\iint_{R}y\,dA = \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{3}r^{2}\,dr = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi}\cdot 9 = (2)\cdot 9 = 18,
logo
\bar y = \frac{18}{9\pi/2} = \frac{4}{\pi}.

Passo 4

Comparando os resultados:
– No quarto de disco (a) \bar x=\tfrac{4}{\pi}, \bar y=\tfrac{4}{\pi}.
– No semicírculo (b) \bar x=0, \bar y=\tfrac{4}{\pi}.
Percebe-se que as duas regiões têm a mesma \bar y, mas a ausência de simetria em x na região (a) desloca \bar x para a direita.

Resposta

(a) \displaystyle\Bigl(\tfrac{4}{\pi},\,\tfrac{4}{\pi}\Bigr)
(b) \displaystyle\Bigl(0,\,\tfrac{4}{\pi}\Bigr)

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