Determine o centro de massa de um sistema composto por tres particulas de massas 1,0 kg, 3,0 kg e 6,0 kg, localizadas nos vertices de um trıangulo equilátero de 2 m de lado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro de massa de um sistema formado por três partículas com massas de 1,0, kg, 3,0, kg e 6,0, kg, localizadas nos vértices de um triângulo equilátero com lados de 2, m. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre centro de massa e um pouco de geometria para determinar as posições das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar os cálculos. Vamos colocar uma das partículas no ponto (0,0) no plano cartesiano. Como o triângulo é equilátero com lados de 2, m, podemos posicionar a segunda partícula no ponto (2,0). A terceira partícula ficará no topo do triângulo, que no caso de um triângulo equilátero está a uma altura de raiz3, m, então suas coordenadas serão (1, raiz3).

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do centro de massa para um sistema de partículas. As coordenadas (xcm, ycm) do centro de massa são dadas por:
xcm = sum mi xisum mi
ycm = sum mi yisum mi
Onde mi são as massas das partículas e (xi, yi) são suas coordenadas.

Passo 4

Vamos aplicar essas fórmulas com os valores que temos:
  • Partícula 1: m1 = 1,0, kg, (x1, y1) = (0, 0)
  • Partícula 2: m2 = 3,0, kg, (x2, y2) = (2, 0)
  • Partícula 3: m3 = 6,0, kg, (x3, y3) = (1, raiz3)

Passo 5

Vamos calcular o numerador e o denominador para xcm e ycm separadamente.
Para xcm:
xcm = (1,0)(0) + (3,0)(2) + (6,0)(1)1+3+6 = 0 + 6 + 610 = 1210 = 1,2, m
Para ycm:
ycm = (1,0)(0) + (3,0)(0) + (6,0)(raiz3)1+3+6 = 0 + 0 + 6raiz310 = 6raiz310 = 3raiz35 approx 1,04, m

Resposta

O centro de massa do sistema está localizado no ponto (1,2, m, 1,04, m).

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