Determine o centro de massa de um sólido homogêneo que é limitado pelo cilindro parabólico x=y^2 e pelos planos x=z, z=0, e x=1.
[
\left(\overrightarrow{x_{C M}}=\left(\frac{5}{7}, 0, \frac{5}{14}\right) \mathrm{m}\right)

Passo 1

O sólido é dado por x variando de 0 a 1, y de -√x a √x e z de 0 a x. Vamos usar integras triplas para calcular o centro de massa de um corpo homogêneo, sabendo que para densidade constante ρ temos M=ρ∭_V dV e as coordenadas x̄= (1/M)ρ∭_V x dV, ȳ=(1/M)ρ∭_V y dV, z̄=(1/M)ρ∭_V z dV.

Passo 2

Calculamos primeiro a massa M. Integrando na ordem z, y, x:
M=ρintegralx=0^1integraly=-raizx^raizxintegralz=0^xdz,dy,dx
A integral em z dá x, em y dá 2√x, logo
M=ρintegral0^1xcdot2raizx,dx=2ρintegral0^1x^3/2,dx=2ρ[25x^5/2]0^1=4ρ5

Passo 3

Agora x̄. O numerador é ρ∭ x dV:
Nx=ρintegral0^1integral-raizx^raizxintegral0^xx,dz,dy,dx
Integral em z dá x^2, em y dá 2x{2}\sqrt{x}=2x{5/2}, então
Nx=ρintegral0^12x^5/2,dx=2ρ[27x^7/2]0^1=4ρ7

Passo 4

Logo
x̄=NxM=4ρ/74ρ/5=57

Passo 5

Por simetria em y, temos ȳ=0.

Passo 6

Para z̄ o numerador é ρ∭ z dV:
Nz=ρintegral0^1integral-raizx^raizxintegral0^xz,dz,dy,dx
Integral em z dá x^2/2, em y dá x^2√x, então
Nz=ρintegral0^1x^5/2,dx=ρ[27x^7/2]0^1=2ρ7

Passo 7

Logo
z̄=NzM=2ρ/74ρ/5=514

Resposta

O centro de massa é l(tfrac57,0,tfrac514r) m.

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