Determine o centro de massa de um sólido homogêneo que é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
.
[
\left(\overrightarrow{x_{C M}}=\left(\frac{5}{7}, 0, \frac{5}{14}\right) \mathrm{m}\right)
\left(\overrightarrow{x_{C M}}=\left(\frac{5}{7}, 0, \frac{5}{14}\right) \mathrm{m}\right)
Passo 1
O sólido é dado por x variando de 0 a 1, y de -√x a √x e z de 0 a x. Vamos usar integras triplas para calcular o centro de massa de um corpo homogêneo, sabendo que para densidade constante ρ temos M=ρ∭_V dV e as coordenadas x̄= (1/M)ρ∭_V x dV, ȳ=(1/M)ρ∭_V y dV, z̄=(1/M)ρ∭_V z dV.
Passo 2
Calculamos primeiro a massa M. Integrando na ordem z, y, x:
A integral em z dá x, em y dá 2√x, logo
Passo 3
Agora x̄. O numerador é ρ∭ x dV:
Integral em z dá x^2, em y dá 2x{2}\sqrt{x}=2x{5/2}, então
Passo 4
Logo
Passo 5
Por simetria em y, temos ȳ=0.
Passo 6
Para z̄ o numerador é ρ∭ z dV:
Integral em z dá x^2/2, em y dá x^2√x, então
Passo 7
Logo
Resposta
O centro de massa é
m.