Exercício 1 Calcule os limtes lim t t0 gamma(t).
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Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limtto 2 gamma(t), onde gamma(t) é uma função vetorial com três componentes. Vamos usar conceitos de limites de funções reais: fatoração para o primeiro componente, Regra de L’Hôpital para o segundo (caso 0/0) e substituição direta para o terceiro.

Passo 2

Para o primeiro componente dfract^3-8t^2-4, notamos uma indeterminação 0/0 ao substituir t=2. Fatoramos:\n t^3-8=(t-2)(t^2+2t+4) e t^2-4=(t-2)(t+2). Cancelando (t-2), obtemos\n t^2+2t+4t+2Agora basta substituir t=2:\n 2^2+2cdot2+42+2=4+4+44=3

Passo 3

O segundo componente é dfraccos(pi/t)t-2. Ao tentar tto2 vemos cos(pi/2)=0 e denominador 0, logo indeterminação 0/0. Aplicamos a Regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a t.\nDerivada de cos(pi/t) é -sin(pi/t))cdot(-pi/t^2)=pit^2sinl(pi/tr), e derivada de t-2 é 1. Assim o limite vira\n limtto2pit^2sinl(pi/tr)=pi2^2sinl(pi/2r)=pi4cdot1=pi4

Passo 4

O terceiro componente é 2t, que é função polinomial (contínua). Basta substituir t=2: 2cdot2=4.

Resposta

(3,,pi4,,4)

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