Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela diferencial
com a condição
. O conteúdo aqui é de EDOs homogêneas e vamos precisar usar a substituição
para separar variáveis e depois impor a condição inicial.
Passo 2
Primeiro transformamos a equação para a forma
. Dividindo ambos os lados por
e por
(supondo
e
), obtemos
Isso mostra que a EDO é homogênea.
Passo 3
Fazendo a substituição
, temos
. Então
Isolando
:
logo a equação fica separável.
Passo 4
Separamos as variáveis:
Integrando os dois lados:
Exponentiando e voltando a
:
para
. Multiplicando por
vem
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Em
temos
Assim a solução implícita é
Passo 6
Por fim, isolamos
. Como em
a solução deve dar
, escolhemos o sinal positivo:
Resposta
y = \sqrt{2x^4 - x^2}