Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela diferencial
(x^2 + 2y^2),dx = x y,dy,
com a condição y(-1)=1. O conteúdo aqui é de EDOs homogêneas e vamos precisar usar a substituição y = vx para separar variáveis e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Primeiro transformamos a equação para a forma tfracdydx = fl(tfracyxr). Dividindo ambos os lados por dx e por x y (supondo xneq0 e yneq0), obtemos
dydx = x^2 + 2y^2x y = 1 + 2l(tfracyxr)^2tfracyx
Isso mostra que a EDO é homogênea.

Passo 3

Fazendo a substituição y=v x, temos dy/dx = v + x,dv/dx. Então
v + xdvdx = 1 + 2v^2v
Isolando dv/dx:
xdvdx = 1 + 2v^2v - v = 1 + v^2v,
logo a equação fica separável.

Passo 4

Separamos as variáveis:
v1+v^2,dv = dxx
Integrando os dois lados:
integral v1+v^2,dv = integral dxx
tfrac12ln(1+v^2) = ln|x| + C
Exponentiando e voltando a y:
1 + l(yxr)^2 = K x^2
para K = e^2C. Multiplicando por x^2 vem
x^2 + y^2 = K x^4

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(-1)=1. Em x=-1, y=1 temos
(-1)^2 + 1^2 = K(-1)^4 implies 2 = K implies K = 2
Assim a solução implícita é
x^2 + y^2 = 2x^4

Passo 6

Por fim, isolamos y. Como em x=-1 a solução deve dar y=1>0, escolhemos o sinal positivo:
y = raiz2x^4 - x^2

Resposta

y = \sqrt{2x^4 - x^2}

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