O problema pede para resolver a EDO inicial
y,dx + \bigl(y\cos(x/y) - x\bigr),dy = 0 com y(0)=2. O conteúdo aqui é EDO homogênea, e vamos usar a substituição u = x/y para transformar em uma equação separável.
Passo 2
Para ver que a equação é homogênea, note que M(x,y)=y e N(x,y)=y\cos(x/y)-x são ambas funções de grau 1 em x e y (pois cos(x/y) é função de x/y). Isso justifica a substituição u= x/y.
Passo 3
Fazendo a troca x = u,y, temos dx = u,dy + y,du. Substituindo em y,dx + (y\cos(x/y)-x),dy=0:
Passo 4
No passo acima, ao expandir e combinar termos em dy e du sobra
Isso é separável:
ou ainda
Passo 5
Agora integramos ambos os lados:
O lado esquerdo dá e o direito . Logo
Passo 6
Voltando a u= x/y, a solução implícita é
yl(sectfracxy + tantfracxyr) = C1
Impondo y(0)=2, em x=0 temos u=0 e sec0+tan0=1, logo C_1=2.
Passo 7
Portanto, a solução que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por