Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO inicial
y,dx + \bigl(y\cos(x/y) - x\bigr),dy = 0 com y(0)=2. O conteúdo aqui é EDO homogênea, e vamos usar a substituição u = x/y para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Para ver que a equação é homogênea, note que M(x,y)=y e N(x,y)=y\cos(x/y)-x são ambas funções de grau 1 em x e y (pois cos(x/y) é função de x/y). Isso justifica a substituição u= x/y.

Passo 3

Fazendo a troca x = u,y, temos dx = u,dy + y,du. Substituindo em y,dx + (y\cos(x/y)-x),dy=0:
yl(u,dy + y,dur) + l(ycos u - u,yr)dy = 0

Passo 4

No passo acima, ao expandir e combinar termos em dy e du sobra
yu,dy + y^2,du + ycos u,dy - uy,dy = ycos u,dy + y^2,du = 0
Isso é separável:
y^2,du + ycos u,dy = 0
ou ainda
ducos u = -dyy

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
integral sec u,du = -integral dyy
O lado esquerdo dá ln|sec u + tan u| e o direito -ln|y| + C. Logo
ln|sec u + tan u| = -ln|y| + C Longrightarrow lnl|y, (sec u + tan u)r| = C

Passo 6

Voltando a u= x/y, a solução implícita é
yl(sectfracxy + tantfracxyr) = C1
Impondo y(0)=2, em x=0 temos u=0 e sec0+tan0=1, logo C_1=2.

Passo 7

Portanto, a solução que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por

Resposta

y\bigl(\sec\tfrac{x}{y} + \tan\tfrac{x}{y}\bigr) = 2

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