Determine o centro e o raio do círculo de equação dada:
Passo 1
O enunciado dá a equação do círculo
e pede que se determine o centro e o raio. Informações relevantes: a equação está em forma geral (quadrática em
e
) e os coeficientes de
e
são iguais (
), o que indica que se trata de uma circunferência (ou, em degrau algébrico, uma transformação simples para a forma canônica). O objetivo é reescrever a equação na forma padrão
onde
é o centro e
o raio.
Passo 2
Primeiro passo prático: dividir toda a equação por
para deixar os termos quadráticos com coeficiente
, o que facilita completar os quadrados. Dividindo por
obtemos
Explicando por que isso ajuda: a forma padrão tem coeficiente
em
e
; com isso podemos completar o quadrado separadamente em
e em
usando uma fórmula simples (ver próximo passo).
Passo 3
A técnica que vamos usar é completar o quadrado. A fórmula básica é:
Isto significa que, para qualquer termo do tipo
, acrescentando e subtraindo
podemos reescrever como um quadrado perfeito menos uma constante. O mesmo vale para
. No nosso caso:
- Para
temos , então
- Para
temos , então
Passo 4
Agora substituímos essas reescrituras na equação dividida por
:
Somando os termos constantes:
. Em seguida
Assim a equação fica
Isolando os quadrados:
Passo 5
Interpretação final: a equação está agora na forma padrão
. Logo:
- O centro é
(note o sinal em por causa de ). - O raio ao quadrado é
, portanto o raio é
Dica rápida para a prova: completar o quadrado sempre que ver
e
com coeficientes iguais; dividir por esse coeficiente facilita muito.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: