Determine o centro e o raio do círculo de equação dada:
2 x^{2}+2 y^{2}-x+y-3=0

Passo 1

O enunciado dá a equação do círculo
2x^{2}+2y^{2}-x+y-3=0
e pede que se determine o centro e o raio. Informações relevantes: a equação está em forma geral (quadrática em x e y) e os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais ( 2), o que indica que se trata de uma circunferência (ou, em degrau algébrico, uma transformação simples para a forma canônica). O objetivo é reescrever a equação na forma padrão
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2},
onde (x_{0},y_{0}) é o centro e r o raio.

Passo 2

Primeiro passo prático: dividir toda a equação por 2 para deixar os termos quadráticos com coeficiente 1, o que facilita completar os quadrados. Dividindo por 2 obtemos
x^{2}+y^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}y-\tfrac{3}{2}=0.
Explicando por que isso ajuda: a forma padrão tem coeficiente 1 em x^{2} e y^{2}; com isso podemos completar o quadrado separadamente em x e em y usando uma fórmula simples (ver próximo passo).

Passo 3

A técnica que vamos usar é completar o quadrado. A fórmula básica é:
x^{2}+bx=\left(x+\tfrac{b}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}.
Isto significa que, para qualquer termo do tipo x^{2}+bx, acrescentando e subtraindo \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2} podemos reescrever como um quadrado perfeito menos uma constante. O mesmo vale para y. No nosso caso:
  • Para x temos b=-\tfrac{1}{2}, então
x^{2}-\tfrac{1}{2}x=\left(x-\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\left(x-\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{1}{16}.
  • Para y temos b=\tfrac{1}{2}, então
y^{2}+\tfrac{1}{2}y=\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{1}{16}.

Passo 4

Agora substituímos essas reescrituras na equação dividida por 2:
\left(x-\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{1}{16}+\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{1}{16}-\tfrac{3}{2}=0.
Somando os termos constantes: -\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{16}=-\tfrac{2}{16}=-\tfrac{1}{8}. Em seguida
-\tfrac{1}{8}-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{8}-\tfrac{12}{8}=-\tfrac{13}{8}.
Assim a equação fica
\left(x-\tfrac{1}{4}\right)^{2}+\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{13}{8}=0.
Isolando os quadrados:
\left(x-\tfrac{1}{4}\right)^{2}+\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{13}{8}.

Passo 5

Interpretação final: a equação está agora na forma padrão (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}. Logo:
  • O centro é \left(\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{4}\right) (note o sinal em y por causa de (y- y_{0})^{2}=(y+1/4)^{2}).
  • O raio ao quadrado é r^{2}=\tfrac{13}{8}, portanto o raio é
r=\sqrt{\tfrac{13}{8}}=\dfrac{\sqrt{26}}{4}.
Dica rápida para a prova: completar o quadrado sempre que ver x^{2} e y^{2} com coeficientes iguais; dividir por esse coeficiente facilita muito.

Resposta

Centro: \left(\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{4}\right)
Raio: \sqrt{\tfrac{13}{8}}=\dfrac{\sqrt{26}}{4}

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