Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
\mathcal{S}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}-6 x-10 y-2=0\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto do plano
\mathcal{S}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}-6x-10y-2=0\}.
O que é pedido:
  • Determinar se \mathcal{S} é um círculo.
  • Caso afirmativo, achar o centro C e o raio r.
  • Caso negativo, identificar qual é o subconjunto descrito pela equação.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é do segundo grau em x e y sem termo misto xy.
  • Os coeficientes dos termos quadráticos são iguais ( 1 para x^{2} e para y^{2}).
  • Há termos lineares -6x e -10y e uma constante -2.

Passo 2

Entender a técnica que vamos usar (completar quadrados) — aula curta e prática.
  • Para reconhecer se uma equação do tipo x^{2}+y^{2}+\text{(termos lineares)}+\text{constante}=0 representa um círculo, convém escrever os termos em formas (x-a)^{2} e (y-b)^{2}.
  • Lembrete do identitdade: para qualquer número a,
(x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}.
Portanto, para transformar x^{2}-6x em um quadrado perfeito, buscamos um a tal que -2a=-6, ou seja a=3. O mesmo raciocínio vale para y.

Passo 3

Aplicar completar o quadrado ao termo em x.
  • Começamos com x^{2}-6x.
  • Pelo item anterior, podemos escrever
x^{2}-6x=(x-3)^{2}-3^{2}=(x-3)^{2}-9.
Expliquei isto porque expandindo (x-3)^{2} obtemos x^{2}-6x+9; para recuperar x^{2}-6x subtraímos 9.

Passo 4

Aplicar completar o quadrado ao termo em y.
  • Para y^{2}-10y, escolhemos b com -2b=-10 então b=5.
  • Assim
y^{2}-10y=(y-5)^{2}-5^{2}=(y-5)^{2}-25.
Novamente, (y-5)^{2}=y^{2}-10y+25, então retiramos 25 para manter igualdade.

Passo 5

Substituir as decomposições na equação original e rearranjar.
  • A equação original é
x^{2}+y^{2}-6x-10y-2=0.
  • Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\bigl((x-3)^{2}-9\bigr)+\bigl((y-5)^{2}-25\bigr)-2=0.
  • Agrupando termos:
(x-3)^{2}+(y-5)^{2}-9-25-2=0.
  • Calculando a soma das constantes negativas:
-9-25-2=-36.
Logo a equação fica
(x-3)^{2}+(y-5)^{2}-36=0.

Passo 6

Isolar os quadrados e reconhecer a forma-canônica do círculo.
  • Colocando o 36 do outro lado,
(x-3)^{2}+(y-5)^{2}=36.
  • Esta é a forma padrão de um círculo de centro (a,b) e raio r,
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.
Comparando termo a termo, a=3, b=5 e r^{2}=36.

Passo 7

Determinar o raio e verificar consistência.
  • Do passo anterior, r^{2}=36, portanto
r=\sqrt{36}=6.
  • Como r>0, isso descreve de fato um círculo não degenerado (se r^{2} fosse negativo, o conjunto seria vazio; se r=0, seria um ponto).

Passo 8

Conclusão final e checagem rápida (expandir para conferir).
  • Para checar, podemos expandir (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=36:
x^{2}-6x+9 + y^{2}-10y+25 =36,
x^{2}+y^{2}-6x-10y +34 =36,
x^{2}+y^{2}-6x-10y -2 =0,
que é exatamente a equação dada. Está consistente.

Resposta

Centro C=(3,5)
Raio r=6

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