Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro
e o raio
. Caso negativo, identifique o subconjunto.
.
Passo 1
O enunciado nos dá o subconjunto do plano
O que é pedido:
- Determinar se
é um círculo. - Caso afirmativo, achar o centro
e o raio . - Caso negativo, identificar qual é o subconjunto descrito pela equação.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é do segundo grau em
e sem termo misto . - Os coeficientes dos termos quadráticos são iguais (
para e para ). - Há termos lineares
e e uma constante .
Passo 2
Entender a técnica que vamos usar (completar quadrados) — aula curta e prática.
- Para reconhecer se uma equação do tipo
representa um círculo, convém escrever os termos em formas e . - Lembrete do identitdade: para qualquer número
,
Portanto, para transformar
em um quadrado perfeito, buscamos um
tal que
, ou seja
. O mesmo raciocínio vale para
.
Passo 3
Aplicar completar o quadrado ao termo em
.
- Começamos com
. - Pelo item anterior, podemos escrever
Expliquei isto porque expandindo
obtemos
; para recuperar
subtraímos
.
Passo 4
Aplicar completar o quadrado ao termo em
.
- Para
, escolhemos com então . - Assim
Novamente,
, então retiramos
para manter igualdade.
Passo 5
Substituir as decomposições na equação original e rearranjar.
- A equação original é
- Substituindo os resultados dos passos anteriores:
- Agrupando termos:
- Calculando a soma das constantes negativas:
Logo a equação fica
Passo 6
Isolar os quadrados e reconhecer a forma-canônica do círculo.
- Colocando o
do outro lado,
- Esta é a forma padrão de um círculo de centro
e raio ,
Comparando termo a termo,
,
e
.
Passo 7
Determinar o raio e verificar consistência.
- Do passo anterior,
, portanto
- Como
, isso descreve de fato um círculo não degenerado (se fosse negativo, o conjunto seria vazio; se , seria um ponto).
Passo 8
Conclusão final e checagem rápida (expandir para conferir).
- Para checar, podemos expandir
:
que é exatamente a equação dada. Está consistente.
Resposta
Centro
Raio
Raio