Determine o centro e o raio das circunferências cujas equações são dadas abaixo:
x^{2}+y^{2}+2 x-6 y+7=0

Passo 1

O enunciado nos dá a circunferência definida pela equação
x^{2}+y^{2}+2x-6y+7=0
e pede para determinar o centro e o raio. O conteúdo aqui é a “forma canônica” da equação de uma circunferência, que tem a expressão
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
onde (h,k) é o centro e r é o raio. Para chegar a essa forma, vamos usar o método de completar o quadrado.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y:
x^{2}+2x \quad\text{e}\quad y^{2}-6y,
deixando o termo constante separado:
x^{2}+2x\;+\;y^{2}-6y\;+\;7=0.

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada grupo.
Para x^{2}+2x:
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1.
Para y^{2}-6y:
y^{2}-6y = (y-3)^{2}-9.
Substituindo na equação original:
(x+1)^{2}-1 \;+\;(y-3)^{2}-9 \;+\;7 = 0.
Simplificando os termos constantes:
(x+1)^{2}+(y-3)^{2} -1 -9 +7 = 0
(x+1)^{2}+(y-3)^{2} -3 = 0
(x+1)^{2}+(y-3)^{2} = 3.

Passo 4

Na forma
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}
vemos que h=-1, k=3 e r^{2}=3. Logo, o centro é (-1,3) e o raio é
r = \sqrt{3}.

Resposta

O centro é (-1,3) e o raio é \sqrt{3}.

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