Determine todos os valores inteiros de
para os quais as séries alternadas abaixo convergem.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores inteiros de
para os quais a série
converge.
Informações fornecidas:
- A soma é sobre
. - O termo geral é
com
-
é um número inteiro (queremos todos os inteiros que tornam a série convergente).
Passo 2
Estratégia de resolução (explicada de forma simples): vou analisar duas coisas separadamente, porque isso costuma deixar tudo claro:
- Se a série converge absolutamente, isto é se
converge (isso garante convergência da série original). - Se não converge absolutamente, verifico se converge condicionalmente usando o teste de séries alternadas (teste de Leibniz): para isso precisamos que
, que tenda a e que seja monótona decrescente a partir de algum ponto. Vou mostrar que essas condições valem para todos os inteiros , e então concluir sobre convergência condicional quando a convergência absoluta falhar.
Passo 3
Mostrando que
para todo inteiro
.
Considere a função contínua
para
. Faço a mudança de variável
, de modo que
e
. Então, para
corresponde
e
Conhece-se (ou pode-se justificar usando l’Hôpital repetidamente) que
para qualquer inteiro
(na verdade para qualquer potência polinomial
comparada ao exponencial
). Logo
e, em particular,
para todo inteiro
. Isso atende a uma das condições do teste de Leibniz.
Passo 4
Mostrando que
é eventualmente decrescente (para poder aplicar o teste de Leibniz).
Calcule a derivada de
. Usando a regra do quociente ou derivando como abaixo:
O fator
é positivo para
. Assim o sinal de
é o sinal de
. Portanto, para todo
vale
e assim
. Isso mostra que
(e, portanto, a sequência
) é decrescente a partir de
. Se
for negativo, então
e essa monotonicidade vale já para todo
. Conclusão:
é monotonicamente decrescente a partir de algum índice, para qualquer inteiro
.
Combinando com o resultado do Passo 3 (limite nulo), todas as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas para qualquer inteiro
. Logo a série alternada converge para todo inteiro
, pelo teste de Leibniz — ao menos condicionalmente quando não houver convergência absoluta.
Passo 5
Análise da convergência absoluta (para separar os casos condicional/absoluto).
A série converge absolutamente exatamente quando
(conveniente excluir
pois
) converge. Use o teste integral. Considere
Com a substituição
(então
) obtemos
Agora a integral
converge se, e somente se, o expoente satisfaz
. Mais precisamente:
- Se
então , que tende a um limite finito quando somente se , isto é . - Se
a integral é , que diverge.
Portanto a série
converge (pelo teste integral) exatamente quando
. Como
é inteiro, isso equivale a
.
Conclusão sobre convergência absoluta:
- Para
a série converge absolutamente. - Para
a série não converge absolutamente.
Passo 6
Juntando tudo (convergência absoluta + teste de Leibniz):
- Para
: a série converge absolutamente (logo converge). - Para
: a série não converge absolutamente, mas pelo Passo 3 e Passo 4 satisfaz as hipóteses do teste de Leibniz, então converge condicionalmente. - O caso
merece menção: a série absoluta diverge, mas a série alternada converge pelo teste de Leibniz.
Assim, para todo inteiro
a série converge (ou absolutamente, ou condicionalmente).
Resposta
Todos os inteiros
(isto é,
).