Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
O que se pede:
- Determinar o centro da série.
- Determinar o raio de convergência.
- Determinar o intervalo de convergência (i.e., quais valores reais de
fazem a série convergir), incluindo o comportamento nos extremos.
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série pode ser visto como
com
- A potência é em
(não há deslocamento do índice), o que sugere o centro imediato da série.
Passo 2
Determinar o centro.
Explicação didática: o centro de uma série de potências é o valor
em torno do qual a série está escrita; séries da forma
têm centro
. Aqui os termos são
, ou seja
.
Logo o centro é
Passo 3
Determinar o raio de convergência
(método: teste da raiz nth ou fórmula com
).
A ideia: para uma série de potências
, o raio de convergência
é dado por
Aqui, primeiro calculemos
e sua raiz
-ésima:
Então
Agora avaliamos o limite quando
. Observação útil:
. Como
quando
, conclui-se que
.
Portanto
Logo
Breve comentário didático: usar o teste da raiz é prático quando há fatores exponenciais tipo
. O fator polinomial
afeta apenas subexponencialmente (vira 1 na raiz
-ésima).
Passo 4
Consequência: região de convergência absoluta.
Para
(i.e.,
) a série converge absolutamente; para
diverge. Assim a convergência absoluta ocorre em
Agora falta analisar os pontos de fronteira
, isto é
e
.
Passo 5
Testar
.
Substituindo
na série obtemos
Esta é uma série alternada de termos
com sinal alternado. Vou aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada):
O Teste de Leibniz afirma que se
é uma sequência positiva, monótona decrescente e que tende a
, então a série
converge.
Verificações:
- Positividade:
para todo . - Tendência a zero:
. - Monotonicidade decrescente: a função
tem derivada para , portanto é decrescente para .
Assim todas as hipóteses do Teste de Leibniz são satisfeitas; a série em
converge.
Classificação adicional (absoluta ou condicional): a série dos valores absolutos é
que é uma série-p com expoente
. Como
(aqui
), essa série diverge. Logo a convergência em
é condicional (converge, mas não absolutamente).
Passo 6
Testar
.
Substituindo
obtemos
Note que
. Então o produto dos sinais é
pois
é ímpar para todo
. Os fatores
se cancelam, ficando
Portanto a série em
é (multiplicada por
) a série-p com
. Como essa série diverge, a original em
também diverge (para
em soma parcial negativa).
Conclusão: diverge em
.
Passo 7
Resumo final e interpretação prática:
- Centro:
. - Raio de convergência:
. - Convergência absoluta para
. - Verificação dos extremos:
- Em
: converge condicionalmente (série alternada com termos ). - Em
: diverge (equivalente a , série-p com ).
- Em
Resposta
Centro:
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: (converge condicionalmente em
, diverge em
)
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: