Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt[3]{n} 3^{n}} x^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt[3]{n}\,3^{n}}x^{n}.
O que se pede:
  • Determinar o centro da série.
  • Determinar o raio de convergência.
  • Determinar o intervalo de convergência (i.e., quais valores reais de x fazem a série convergir), incluindo o comportamento nos extremos.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série pode ser visto como a_n x^n com
a_n = (-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt[3]{n}\,3^{n}}.
  • A potência é em x^{n} (não há deslocamento do índice), o que sugere o centro imediato da série.

Passo 2

Determinar o centro.
Explicação didática: o centro de uma série de potências é o valor x_0 em torno do qual a série está escrita; séries da forma \sum a_n(x-x_0)^n têm centro x_0. Aqui os termos são x^{n}, ou seja (x-0)^n.
Logo o centro é
\text{o centro} = 0.

Passo 3

Determinar o raio de convergência R (método: teste da raiz nth ou fórmula com \limsup).
A ideia: para uma série de potências \sum a_n x^n, o raio de convergência R é dado por
\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.
Aqui, primeiro calculemos |a_n| e sua raiz n-ésima:
|a_n| = \frac{1}{\sqrt[3]{n}\,3^{n}} = \frac{1}{n^{1/3}3^{n}}.
Então
|a_n|^{1/n} = \left(\frac{1}{n^{1/3}3^{n}}\right)^{1/n} = n^{-1/(3n)}\cdot 3^{-1}.
Agora avaliamos o limite quando n\to\infty. Observação útil: n^{-1/(3n)} = e^{-\frac{1}{3n}\ln n}. Como \frac{\ln n}{n}\to 0 quando n\to\infty, conclui-se que n^{-1/(3n)}\to 1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n} = 1\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
Logo
\frac{1}{R} = \frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad R = 3.
Breve comentário didático: usar o teste da raiz é prático quando há fatores exponenciais tipo 3^{n}. O fator polinomial n^{1/3} afeta apenas subexponencialmente (vira 1 na raiz n-ésima).

Passo 4

Consequência: região de convergência absoluta.
Para |x|<R (i.e., |x|<3) a série converge absolutamente; para |x|>R diverge. Assim a convergência absoluta ocorre em
|x|<3.
Agora falta analisar os pontos de fronteira |x|=3, isto é x=3 e x=-3.

Passo 5

Testar x=3.
Substituindo x=3 na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt[3]{n}\,3^{n}}\,3^{n} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}.
Esta é uma série alternada de termos b_n = \dfrac{1}{\sqrt[3]{n}} com sinal alternado. Vou aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada):
O Teste de Leibniz afirma que se (b_n) é uma sequência positiva, monótona decrescente e que tende a 0, então a série \sum (-1)^{n} b_n converge.
Verificações:
  • Positividade: b_n>0 para todo n.
  • Tendência a zero: \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} n^{-1/3} = 0.
  • Monotonicidade decrescente: a função f(x)=x^{-1/3} tem derivada f'(x) = -\tfrac{1}{3}x^{-4/3}<0 para x>0, portanto b_n = f(n) é decrescente para n\ge1.
Assim todas as hipóteses do Teste de Leibniz são satisfeitas; a série em x=3 converge.
Classificação adicional (absoluta ou condicional): a série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/3}},
que é uma série-p com expoente p=\tfrac{1}{3}. Como p\le 1 (aqui p=\tfrac{1}{3}<1), essa série diverge. Logo a convergência em x=3 é condicional (converge, mas não absolutamente).

Passo 6

Testar x=-3.
Substituindo x=-3 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt[3]{n}\,3^{n}}(-3)^{n}.
Note que (-3)^{n}=(-1)^{n}3^{n}. Então o produto dos sinais é
(-1)^{n-1}\cdot(-1)^{n} = (-1)^{2n-1} = -1,
pois 2n-1 é ímpar para todo n. Os fatores 3^{n} se cancelam, ficando
\sum_{n=1}^{\infty} -\frac{1}{\sqrt[3]{n}} = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/3}}.
Portanto a série em x=-3 é (multiplicada por -1) a série-p com p=\tfrac{1}{3}. Como essa série diverge, a original em x=-3 também diverge (para -\infty em soma parcial negativa).
Conclusão: diverge em x=-3.

Passo 7

Resumo final e interpretação prática:
  • Centro: 0.
  • Raio de convergência: R=3.
  • Convergência absoluta para |x|<3.
  • Verificação dos extremos:
    • Em x=3: converge condicionalmente (série alternada com termos 1/n^{1/3}).
    • Em x=-3: diverge (equivalente a -\sum 1/n^{1/3}, série-p com p=\tfrac{1}{3}<1).

Resposta

Centro: 0
Raio de convergência: R=3
Intervalo de convergência: (-3,3] (converge condicionalmente em x=3, diverge em x=-3)

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