Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(-4)^{n}} x^{2 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(-4)^{n}}x^{2n+1}
e pede três coisas: o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A série envolve apenas potências ímpares de x: os termos têm a forma x^{2n+1}.
  • O coeficiente do termo x^{2n+1} é \dfrac{1}{(-4)^n}.
  • Para índices k pares, o coeficiente do termo x^k é zero (ou seja, a série pode ser vista como uma série de potências centrada em 0 com termos nulos para potências pares).

Passo 2

Transformar a série em uma forma conhecida para aplicar um critério de convergência. Vamos fatorar um x e reconhecer uma série geométrica:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(-4)^{n}}x^{2n+1} = x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(-4)^n} = x\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^2}{-4}\right)^n = x\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x^2}{4}\right)^n.
Aqui a soma interior é uma série geométrica com razão
r = -\frac{x^2}{4}.
Lembrete (aula rápida): uma série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|=1 é preciso testar caso a caso; se |r|>1 diverge.

Passo 3

Aplicar o critério da série geométrica ao nosso r:
\left|-\frac{x^2}{4}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^2}{4}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2<4 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<2.
Interpretação:
  • O centro da série é o ponto em torno do qual as potências são escritas; aqui as potências são de x (isto é, (x-0)^k), então o centro é \,0.
  • A condição |x|<2 mostra que a série converge para todos os x com distância menor que 2 ao centro 0. Portanto o raio de convergência é 2.
Explicando o conceito de raio (aula rápida): o raio de convergência R é o número tal que a série converge para |x-c|<R e diverge para |x-c|>R, onde c é o centro. Aqui c=0 e R=2.

Passo 4

Testar os pontos extremos do intervalo de convergência, isto é x=2 e x=-2.
  • Para x=2:
\frac{1}{(-4)^n}2^{2n+1} =2\cdot\frac{4^{n}}{(-4)^n} =2\cdot\left(\frac{4}{-4}\right)^n =2\cdot(-1)^n.
Os termos gerais não tendem a zero (os termos alternam entre 2 e -2), logo a soma não pode convergir. Conclusão: a série diverge em x=2.
  • Para x=-2:
\frac{1}{(-4)^n}(-2)^{2n+1} =-2\cdot\frac{4^{n}}{(-4)^n} =-2\cdot(-1)^n.
Novamente os termos não tendem a zero (alternam entre -2 e 2), portanto a série diverge em x=-2.
Observação (aula rápida): uma condição necessária (mas não suficiente) para que uma série \sum a_n converja é que a_n\to 0. Se a_n não tende a zero, a série diverge imediatamente.
Portanto os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 5

Resumo adicional útil (forma fechada dentro do raio): para |x|<2 podemos somar a geométrica e obter a soma da série em função de x:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(-4)^{n}}x^{2n+1} = x\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x^2}{4}\right)^n = x\cdot\frac{1}{1- \left(-\dfrac{x^2}{4}\right)} = x\cdot\frac{1}{1+\dfrac{x^2}{4}} = \frac{4x}{4+x^2},\qquad \text{para }|x|<2.
Isso é só para complementar: valida a identificação do raio e mostra a função geradora da série no interior do disco de convergência.

Resposta

Centro: 0
Raio de convergência: 2
Intervalo de convergência: (-2,2)

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