Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos A(2,4,-3) e B(3,-1,1). Qual a intersecção dessa reta com o plano xy?

Passo 1

O problema pede as equações paramétricas e simétricas da reta que passa por A(2,4,-3) e B(3,-1,1), e depois determinar onde essa reta cruza o plano xy (z=0). Vamos usar vetores, equação de reta no espaço e o fato de que o plano xy é dado por z=0.

Passo 2

Para achar o vetor diretor vec v da reta, subtraímos as coordenadas de A das de B: vec v = B - A = (3 - 2,,-1 - 4,,1 - (-3)) = (1,,-5,,4). Esse vetor indica a direção da reta.

Passo 3

Usamos a forma paramétrica da reta a partir do ponto A e do vetor diretor vec v=(1,-5,4):
x = 2 + t, y = 4 - 5t, z = -3 + 4t
onde tinR.

Passo 4

A partir da equação paramétrica isolamos t para obter a forma simétrica:
x - 21 = y - 4-5 = z + 34

Passo 5

Para achar a interseção com o plano xy definimos z = 0 e usamos z = -3 + 4t, obtendo -3 + 4t = 0 e assim t = 34. Substituindo em x e y:
x = 2 + 34 = 114, y = 4 - 5cdot34 = 14
Assim o ponto de interseção é l(tfrac114,tfrac14,0r).

Resposta

Equações paramétricas:
x = 2 + t, y = 4 - 5t, z = -3 + 4t
Equações simétricas:
x - 21 = y - 4-5 = z + 34
Interseção com o plano xy: l(tfrac114,tfrac14,0r).

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