Determine centro, raio e faça o esboço das seguintes circunferências:
x^{2}+y^{2}+6 x-12 y+25=0.

Passo 1

O enunciado pede o centro e o raio da circunferência dada por x^{2}+y^{2}+6x-12y+25=0 e um esboço no plano cartesiano. O conteúdo utilizado é a forma geral da circunferência e a técnica de completar quadrados para convertê-la na forma reduzida.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e completamos o quadrado:
x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9,
y^{2}-12y=(y-6)^{2}-36.
Substituindo na equação original:
x^{2}+y^{2}+6x-12y+25=(x+3)^{2}-9+(y-6)^{2}-36+25=(x+3)^{2}+(y-6)^{2}-20.
Logo a equação fica
(x+3)^{2}+(y-6)^{2}=20.

Passo 3

Na forma (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} identificamos o centro (h,k) e o raio r. Aqui
h=-3,\quad k=6,\quad r^{2}=20\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 4

Para esboçar, marcamos o centro C(-3,6) no plano e, a partir dele, os pontos mais distantes nas direções horizontal e vertical:
A\bigl(-3+2\sqrt{5},\,6\bigr),\;B\bigl(-3-2\sqrt{5},\,6\bigr),\;C'\bigl(-3,\,6+2\sqrt{5}\bigr),\;D\bigl(-3,\,6-2\sqrt{5}\bigr).
Depois unimos suavemente esses pontos formando a circunferência de raio aproximado 2\sqrt{5}\approx4,47.

Resposta

O centro é (-3,6) e o raio é 2\sqrt{5}.

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