Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e desenhe o gráfico das hipérboles com as suas assíntotas:
-5 x^{2}+4 y^{2}+30 x+16 y=9

Passo 1

O enunciado fornece a equação
-5x^{2}+4y^{2}+30x+16y=9
e pede explicitamente:
  • determinar o centro;
  • determinar os vértices;
  • determinar os focos;
  • determinar os eixos de simetria;
  • desenhar (descrever) o gráfico das hipérboles com suas assíntotas.
Informações dadas (coeficientes que vêm da equação): termos em x^{2} e y^{2}, termos lineares em x e y, e o termo independente 9.

Passo 2

Primeiro objetivo prático: passar a equação para a forma canônica da hipérbole, isto é, completar quadrados para agrupar as variáveis e identificar centro, a^{2} e b^{2}.
Lembrete rápido sobre completar quadrado (fórmula que vamos usar): para uma expressão quadrática em x,
x^{2}+Bx=(x+\tfrac{B}{2})^{2}-\left(\tfrac{B}{2}\right)^{2}.
Isto transforma um polinômio quadrático numa forma quadrado-perfeito menos uma constante.
Aplicando ao nosso caso, primeiro agrupo termos em x e em y:
-5x^{2}+30x \quad\text{e}\quad 4y^{2}+16y.

Passo 3

Fatorando coeficientes dos quadráticos para poder completar quadrado:
-5x^{2}+30x = -5\bigl(x^{2}-6x\bigr), \qquad 4y^{2}+16y = 4\bigl(y^{2}+4y\bigr).
Agora completo quadrados em cada parêntese usando a fórmula do passo anterior.
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9, \qquad y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4.
Substituo de volta na equação original:
-5\bigl((x-3)^{2}-9\bigr) + 4\bigl((y+2)^{2}-4\bigr)=9.
Distribuindo e somando constantes:
-5(x-3)^{2} + 45 + 4(y+2)^{2} -16 = 9.
-5(x-3)^{2} + 4(y+2)^{2} +29 = 9.
-5(x-3)^{2} + 4(y+2)^{2} = 9-29 = -20.
Multiplico por -1 para deixar o termo positivo em (x-3)^{2}:
5(x-3)^{2} - 4(y+2)^{2} = 20.
Divido ambos os lados por 20 para obter a forma canônica:
\frac{(x-3)^{2}}{4} - \frac{(y+2)^{2}}{5} = 1.
Portanto a equação está na forma canônica
\frac{(x-3)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y+2)^{2}}{b^{2}} = 1,
com a^{2}=4 e b^{2}=5.

Passo 4

Identificação do centro: na forma canônica \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 o centro é (h,k).
Aqui, h=3 e k=-2. Logo o centro é
(3,-2).
Explicação curta: o centro é o ponto em que se deslocam as variáveis para escrever a hipérbole como diferença de quadrados; é o “ponto médio” entre os dois ramos.

Passo 5

Valores de a e b e o significado físico:
a^{2}=4 \Rightarrow a=2, \qquad b^{2}=5 \Rightarrow b=\sqrt{5}.
Interpretação: a é a semi-distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso (aqui horizontal), e b é a semi-distância associada ao eixo conjugado (a “altura” do retângulo auxiliar usado para traçar assíntotas).

Passo 6

Vértices: para a hipérbole na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 (abertura horizontal), os vértices são (h\pm a,\,k).
Aplicando:
(h+a,k)=(3+2,-2)=(5,-2), \qquad (h-a,k)=(3-2,-2)=(1,-2).
Logo os vértices são (5,-2) e (1,-2).

Passo 7

Focos: para hipérbole horizontal vale c^{2}=a^{2}+b^{2}. Então
c^{2}=4+5=9 \Rightarrow c=3.
Os focos estão em (h\pm c,\,k):
(3+3,-2)=(6,-2), \qquad (3-3,-2)=(0,-2).
Portanto os focos são (6,-2) e (0,-2).
Também vale a excentricidade e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{2}=1{,}5 (útil para interpretação geométrica).

Passo 8

Eixos de simetria:
  • Eixo transverso (passa pelos vértices e focos): reta horizontal y=k, ou seja
y=-2.
  • Eixo conjugado (reta perpendicular pelo centro): reta vertical x=h, ou seja
x=3.
Explicação: as hipérboles são simétricas em relação a essas duas retas (reflexão em cada uma deixa a curva inalterada).

Passo 9

Assíntotas: para a forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são as retas que passam pelo centro com inclinações \pm \tfrac{b}{a}:
y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h).
Aqui:
y+2=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}(x-3).
Valor aproximado da inclinação: \dfrac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}118. Assim as assíntotas têm equações
y+2 \;=\; \frac{\sqrt{5}}{2}(x-3) \qquad\text{e}\qquad y+2 \;=\; -\frac{\sqrt{5}}{2}(x-3).
Breve derivação/justificação intuitiva: para |x| grande o termo 1 é desprezível na forma canônica, levando aproximadamente a \dfrac{(x-3)^{2}}{4}\approx \dfrac{(y+2)^{2}}{5}, daí a relação linear entre y+2 e x-3 com coeficiente \pm b/a.

Passo 10

Como desenhar a hipérbole (descrição passo a passo para traçar no papel):
  1. Marcar o centro em (3,-2).
  2. Traçar retas-guia dos eixos de simetria y=-2 (horizontal) e x=3 (vertical).
  3. Marcar os vértices (5,-2) e (1,-2); os ramos da hipérbole passam por estes pontos e abrem para a direita e para a esquerda.
  4. Construir o retângulo auxiliar centrado em (3,-2) com semi-lados a=2 na horizontal e b=\sqrt{5} na vertical; seus cantos são (5,-2\pm\sqrt{5}) e (1,-2\pm\sqrt{5}).
  5. Desenhar as diagonais desse retângulo; elas são exatamente as assíntotas y+2=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}(x-3).
  6. Esboçar os dois ramos da hipérbole: cada ramo fica à volta de um vértice e se aproxima das assíntotas conforme se afasta do centro (no sentido que para x\to\pm\infty, a curva se aproxima das linhas assintóticas).
Observação prática: os ramos ficam simétricos em relação a x=3 e y=-2, abrem-se horizontalmente e nunca tocam as assíntotas (apenas se aproximam).

Resposta

Forma canônica: \dfrac{(x-3)^{2}}{4}-\dfrac{(y+2)^{2}}{5}=1
Centro: (3,-2)
Vértices: (5,-2) e (1,-2)
Focos: (6,-2) e (0,-2)
Eixos de simetria: eixo transverso y=-2 e eixo conjugado x=3
Assíntotas: y+2=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}(x-3) (inclinações \pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}\approx\pm1{,}118)

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