Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e desenhe o gráfico das hipérboles com as suas assíntotas:
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede explicitamente:
- determinar o centro;
- determinar os vértices;
- determinar os focos;
- determinar os eixos de simetria;
- desenhar (descrever) o gráfico das hipérboles com suas assíntotas.
Informações dadas (coeficientes que vêm da equação): termos em
e
, termos lineares em
e
, e o termo independente
.
Passo 2
Primeiro objetivo prático: passar a equação para a forma canônica da hipérbole, isto é, completar quadrados para agrupar as variáveis e identificar centro,
e
.
Lembrete rápido sobre completar quadrado (fórmula que vamos usar): para uma expressão quadrática em
,
Isto transforma um polinômio quadrático numa forma quadrado-perfeito menos uma constante.
Aplicando ao nosso caso, primeiro agrupo termos em
e em
:
Passo 3
Fatorando coeficientes dos quadráticos para poder completar quadrado:
Agora completo quadrados em cada parêntese usando a fórmula do passo anterior.
Substituo de volta na equação original:
Distribuindo e somando constantes:
Multiplico por
para deixar o termo positivo em
:
Divido ambos os lados por
para obter a forma canônica:
Portanto a equação está na forma canônica
com
e
.
Passo 4
Identificação do centro: na forma canônica
o centro é
.
Aqui,
e
. Logo o centro é
Explicação curta: o centro é o ponto em que se deslocam as variáveis para escrever a hipérbole como diferença de quadrados; é o “ponto médio” entre os dois ramos.
Passo 5
Valores de
e
e o significado físico:
Interpretação:
é a semi-distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso (aqui horizontal), e
é a semi-distância associada ao eixo conjugado (a “altura” do retângulo auxiliar usado para traçar assíntotas).
Passo 6
Vértices: para a hipérbole na forma
(abertura horizontal), os vértices são
.
Aplicando:
Logo os vértices são
e
.
Passo 7
Focos: para hipérbole horizontal vale
. Então
Os focos estão em
:
Portanto os focos são
e
.
Também vale a excentricidade
(útil para interpretação geométrica).
Passo 8
Eixos de simetria:
- Eixo transverso (passa pelos vértices e focos): reta horizontal
, ou seja
- Eixo conjugado (reta perpendicular pelo centro): reta vertical
, ou seja
Explicação: as hipérboles são simétricas em relação a essas duas retas (reflexão em cada uma deixa a curva inalterada).
Passo 9
Assíntotas: para a forma
as assíntotas são as retas que passam pelo centro com inclinações
:
Aqui:
Valor aproximado da inclinação:
. Assim as assíntotas têm equações
Breve derivação/justificação intuitiva: para
grande o termo
é desprezível na forma canônica, levando aproximadamente a
, daí a relação linear entre
e
com coeficiente
.
Passo 10
Como desenhar a hipérbole (descrição passo a passo para traçar no papel):
- Marcar o centro em
. - Traçar retas-guia dos eixos de simetria
(horizontal) e (vertical). - Marcar os vértices
e ; os ramos da hipérbole passam por estes pontos e abrem para a direita e para a esquerda. - Construir o retângulo auxiliar centrado em
com semi-lados na horizontal e na vertical; seus cantos são e . - Desenhar as diagonais desse retângulo; elas são exatamente as assíntotas
. - Esboçar os dois ramos da hipérbole: cada ramo fica à volta de um vértice e se aproxima das assíntotas conforme se afasta do centro (no sentido que para
, a curva se aproxima das linhas assintóticas).
Observação prática: os ramos ficam simétricos em relação a
e
, abrem-se horizontalmente e nunca tocam as assíntotas (apenas se aproximam).
Resposta
Forma canônica:
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Eixos de simetria: eixo transverso e eixo conjugado
Assíntotas: (inclinações
)
Centro:
Vértices:
Focos:
Eixos de simetria: eixo transverso
Assíntotas: