Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Focos (-4,4) e (8,4), eixo imaginário de comprimento 8.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Focos em (-4,4) e (8,4).
    • "Eixo imaginário de comprimento 8".
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a equação reduzida (forma canônica) da hipérbole que satisfaz essas condições.
Observações imediatas extraídas dos dados (sem resolver ainda):
  • Os dois focos têm a mesma coordenada y=4, logo a linha que une os focos é horizontal. Isso indica que a hipérbole tem eixo transverso horizontal (a hipérbole “abre” para a esquerda e direita).
  • O comprimento do eixo imaginário é dado como 8. (Mais adiante vou explicar o que isso significa e como usar.)

Passo 2

Encontrar o centro da hipérbole (ponto médio entre os focos).
  • Para dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o ponto médio é \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right).
  • Aqui os focos são (-4,4) e (8,4). Portanto o centro C é C=\left(\frac{-4+8}{2},\frac{4+4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{8}{2}\right)=(2,4).
  • Conclusão: o centro da hipérbole é (2,4).

Passo 3

Calcular a distância focal c (meia distância entre os focos).
  • A distância entre os focos é 2c. Aqui, a distância horizontal entre -4 e 8 é 8-(-4)=12.
  • Logo 2c=12 e c=6.
  • Interpretação: cada foco está a 6 unidades do centro ao longo do eixo horizontal.

Passo 4

Interpretar "eixo imaginário de comprimento 8" e obter b.
  • Em hipérboles, o “eixo imaginário” (também chamado de eixo conjugado) tem comprimento 2b. Portanto se o enunciado diz que o eixo imaginário tem comprimento 8, então 2b=8 \quad\Rightarrow\quad b=4.

Passo 5

Recordar a relação entre a, b e c e calcular a.
  • Para uma hipérbole com eixo transverso horizontal (forma canônica centrada em (h,k)): \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
  • As constantes a,b,c satisfazem a relação c^2 = a^2 + b^2.(Explicação rápida: essa é a relação padrão entre semi-eixo real ( a), semi-eixo conjugado ( b) e distância focal ( c) para hipérboles.)
  • Já temos c=6 e b=4. Logo a^2 = c^2 - b^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20.
  • Portanto a=\sqrt{20} (mas na equação reduzida usamos a^2=20).

Passo 6

Escrever a equação reduzida usando centro (h,k)=(2,4), a^2=20 e b^2=16.
  • Para eixo transverso horizontal a forma canônica centrada em (h,k) é \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
  • Substituindo h=2, k=4, a^2=20, b^2=16, obtemos \frac{(x-2)^2}{20}-\frac{(y-4)^2}{16}=1.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check) — conferir que os focos batem com c=6.
  • Para a equação escrita, os focos estão em (h\pm c,\,k)=(2\pm6,\,4), isto é, (-4,4) e (8,4), que coincidem com os focos dados. Tudo consistente.

Resposta

\frac{(x-2)^2}{20}-\frac{(y-4)^2}{16}=1

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