Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Focos
e
, eixo imaginário de comprimento 8.
Focos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Focos em
e . - "Eixo imaginário de comprimento
".
- Focos em
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a equação reduzida (forma canônica) da hipérbole que satisfaz essas condições.
Observações imediatas extraídas dos dados (sem resolver ainda):
- Os dois focos têm a mesma coordenada
, logo a linha que une os focos é horizontal. Isso indica que a hipérbole tem eixo transverso horizontal (a hipérbole “abre” para a esquerda e direita). - O comprimento do eixo imaginário é dado como
. (Mais adiante vou explicar o que isso significa e como usar.)
Passo 2
Encontrar o centro da hipérbole (ponto médio entre os focos).
- Para dois pontos
e , o ponto médio é . - Aqui os focos são
e . Portanto o centro é - Conclusão: o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Calcular a distância focal
(meia distância entre os focos).
- A distância entre os focos é
. Aqui, a distância horizontal entre e é . - Logo
e - Interpretação: cada foco está a
unidades do centro ao longo do eixo horizontal.
Passo 4
Interpretar "eixo imaginário de comprimento
" e obter
.
- Em hipérboles, o “eixo imaginário” (também chamado de eixo conjugado) tem comprimento
. Portanto se o enunciado diz que o eixo imaginário tem comprimento , então
Passo 5
Recordar a relação entre
,
e
e calcular
.
- Para uma hipérbole com eixo transverso horizontal (forma canônica centrada em
): - As constantes
satisfazem a relação (Explicação rápida: essa é a relação padrão entre semi-eixo real ( ), semi-eixo conjugado ( ) e distância focal ( ) para hipérboles.) - Já temos
e . Logo - Portanto
(mas na equação reduzida usamos ).
Passo 6
Escrever a equação reduzida usando centro
,
e
.
- Para eixo transverso horizontal a forma canônica centrada em
é - Substituindo
, , , , obtemos
Passo 7
Verificação rápida (sanity check) — conferir que os focos batem com
.
- Para a equação escrita, os focos estão em
, isto é, e , que coincidem com os focos dados. Tudo consistente.