Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro ( 0,0 ), reta y=\frac{1}{2} x uma assíntota e ( \sqrt{5}, 0 ) um foco.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Centro da hipérbole: (0,0).
  • Uma assíntota é a reta \displaystyle y=\tfrac{1}{2}x.
  • Um foco é o ponto \displaystyle (\sqrt{5},0).
O que o enunciado pede:
  • Determinar a equação reduzida (forma padrão) da hipérbole que satisfaz essas condições.

Passo 2

Escolher a forma padrão adequada e explicar as variáveis.
Como o centro é (0,0) e um dos focos está em (\sqrt{5},0) (ou seja, sobre o eixo x), a hipérbole tem o eixo transverso ao longo do eixo x. A forma reduzida (padrão) dessa hipérbole é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde:
  • \displaystyle a>0 é o semi-eixo real (meia distância do centro ao vértice na direção x);
  • \displaystyle b>0 é o semi-eixo imaginário (relacionado à abertura no eixo y);
  • \displaystyle c>0 é a semi-distância do centro a cada foco (os focos ficam em (\pm c,0));
  • as constantes satisfazem a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
As assíntotas dessa hipérbole (no caso centrada na origem, eixo em x) são as retas
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Explicação rápida do porquê: para |x| grande, os termos constantes são desprezíveis e a equação tende a \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\approx0, o que leva a y\approx\pm\dfrac{b}{a}x.

Passo 3

Usar a informação da assíntota para relacionar a e b.
Foi dada a assíntota \displaystyle y=\tfrac{1}{2}x. Como as assíntotas são y=\pm\dfrac{b}{a}x, a razão \dfrac{b}{a} deve ser \dfrac{1}{2}. Portanto
\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{a}{2}.
Observação: a outra assíntota, por simetria do centro na origem, será \displaystyle y=-\tfrac{1}{2}x.

Passo 4

Usar a informação do foco para encontrar a e b.
O foco dado é (\sqrt{5},0), então \displaystyle c=\sqrt{5} e
c^{2}=5.
A relação entre a,b,c é \displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}. Substituindo b=\dfrac{a}{2} obtemos
5=c^{2}=a^{2}+b^{2}=a^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=a^{2}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{5}{4}a^{2}.
Agora resolvemos para a^{2}:
\frac{5}{4}a^{2}=5\quad\Rightarrow\quad a^{2}=4.
Logo a=2 (tomamos a raiz positiva por definição de semi-eixo).

Passo 5

Calcular b^{2} e escrever a equação final.
Como b=\dfrac{a}{2}, com a^{2}=4 temos
b^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}=\frac{4}{4}=1.
Substituindo a^{2}=4 e b^{2}=1 na forma padrão \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, obtemos a equação reduzida:
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1.

Resposta

\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1

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