Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro ( 0,0 ), reta
uma assíntota e (
) um foco.
Centro ( 0,0 ), reta
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Centro da hipérbole:
. - Uma assíntota é a reta
. - Um foco é o ponto
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a equação reduzida (forma padrão) da hipérbole que satisfaz essas condições.
Passo 2
Escolher a forma padrão adequada e explicar as variáveis.
Como o centro é
e um dos focos está em
(ou seja, sobre o eixo
), a hipérbole tem o eixo transverso ao longo do eixo
. A forma reduzida (padrão) dessa hipérbole é
onde:
-
é o semi-eixo real (meia distância do centro ao vértice na direção ); -
é o semi-eixo imaginário (relacionado à abertura no eixo ); -
é a semi-distância do centro a cada foco (os focos ficam em ); - as constantes satisfazem a relação
As assíntotas dessa hipérbole (no caso centrada na origem, eixo em
) são as retas
Explicação rápida do porquê: para
grande, os termos constantes são desprezíveis e a equação tende a
, o que leva a
.
Passo 3
Usar a informação da assíntota para relacionar
e
.
Foi dada a assíntota
. Como as assíntotas são
, a razão
deve ser
. Portanto
Observação: a outra assíntota, por simetria do centro na origem, será
.
Passo 4
Usar a informação do foco para encontrar
e
.
O foco dado é
, então
e
A relação entre
é
. Substituindo
obtemos
Agora resolvemos para
:
Logo
(tomamos a raiz positiva por definição de semi-eixo).
Passo 5
Calcular
e escrever a equação final.
Como
, com
temos
Substituindo
e
na forma padrão
, obtemos a equação reduzida: