Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede um esboço do gráfico da hipérbole, traçando as assíntotas.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação explícita da cônica é
. - O objetivo é encontrar a posição/forma da hipérbole (centro, vértices, direção das ramos) e as equações das assíntotas para desenhar o esboço.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de hipérbole (dividir e reorganizar). Começo dividindo ambos os lados por
:
Reescrevendo em ordem (termo positivo primeiro):
Agora escrevo na forma padrão
. Note que
logo a forma padrão é
Passo 3
Identificar o centro
lendo os termos
e
.
- O centro é
.
Passo 4
Identificar
e
e a orientação dos ramos.
- Da forma
tem-se e . - Portanto
e . - Como o termo positivo é o que envolve
, a hipérbole tem eixo transverso vertical: os ramos abrem para cima e para baixo a partir do centro.
Passo 5
Calcular os vértices (pontos mais próximos do centro ao longo do eixo transverso).
- Vértices:
. - Ou seja os vértices são
e .
Passo 6
Calcular as foci (opcional, mas útil para entendimento). Para hipérbole vertical vale
.
Focos:
.
Passo 7
Derivar as equações das assíntotas. Para hipérbole da forma
as assíntotas passam pelo centro e têm inclinações
. Aqui
. Assim:
Podem também ser escritas na forma explicita:
Passo 8
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Marcar o centro em
. - Traçar as duas retas assíntotas
(ou e ). - Marcar os vértices em
e ; os ramos vão passar por esses pontos e abrir para cima e para baixo. - (Dica construtiva) Desenhar um retângulo de centro
com semilargura e semialtura ; as diagonais desse retângulo são as assíntotas — isso ajuda a posicioná-las com precisão. - Desenhar as duas curvas (ramos) que passam pelos vértices e se aproximam das assíntotas quando
cresce. Os ramos ficam simétricos em relação ao centro e ao eixo vertical que passa pelo centro.
Passo 9
Pontos adicionais que ajudam a traçar com precisão (opcionais):
- Interseção com o eixo
(colocando ): resolvendo a equação obtém-se (dois pontos reais, um acima e outro abaixo do centro). - Interseção com o eixo
(colocando ): resolvendo obtém-se (dois pontos à esquerda e à direita do centro).
Resposta
Centro:
Vértices: e
Assíntotas: (equivalente a
e
)
Vértices:
Assíntotas: