Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
-4(x+2)^{2}+16(y-1)^{2}=4

Passo 1

O enunciado dá a equação
-4(x+2)^{2}+16(y-1)^{2}=4
e pede um esboço do gráfico da hipérbole, traçando as assíntotas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação explícita da cônica é -4(x+2)^{2}+16(y-1)^{2}=4.
  • O objetivo é encontrar a posição/forma da hipérbole (centro, vértices, direção das ramos) e as equações das assíntotas para desenhar o esboço.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de hipérbole (dividir e reorganizar). Começo dividindo ambos os lados por 4:
-\,(x+2)^{2}+4(y-1)^{2}=1.
Reescrevendo em ordem (termo positivo primeiro):
4(y-1)^{2}-(x+2)^{2}=1.
Agora escrevo na forma padrão \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1. Note que
4(y-1)^{2}=\frac{(y-1)^{2}}{1/4},
logo a forma padrão é
\frac{(y-1)^{2}}{1/4}-\frac{(x+2)^{2}}{1}=1.

Passo 3

Identificar o centro (h,k) lendo os termos (x+2) e (y-1).
  • O centro é (h,k)=(-2,\,1).

Passo 4

Identificar a^{2} e b^{2} e a orientação dos ramos.
  • Da forma \dfrac{(y-1)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x+2)^{2}}{b^{2}}=1 tem-se a^{2}=\dfrac{1}{4} e b^{2}=1.
  • Portanto a=\dfrac{1}{2} e b=1.
  • Como o termo positivo é o que envolve y, a hipérbole tem eixo transverso vertical: os ramos abrem para cima e para baixo a partir do centro.

Passo 5

Calcular os vértices (pontos mais próximos do centro ao longo do eixo transverso).
  • Vértices: (h,\,k\pm a)=\bigl(-2,\,1\pm\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Ou seja os vértices são \bigl(-2,\,\tfrac{3}{2}\bigr) e \bigl(-2,\,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 6

Calcular as foci (opcional, mas útil para entendimento). Para hipérbole vertical vale c^{2}=a^{2}+b^{2}.
c^{2}=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4},\qquad c=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Focos: (h,\,k\pm c)=\displaystyle\Bigl(-2,\,1\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\Bigr).

Passo 7

Derivar as equações das assíntotas. Para hipérbole da forma \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas passam pelo centro e têm inclinações \pm \dfrac{a}{b}. Aqui \dfrac{a}{b}=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac{1}{2}. Assim:
y-1=\pm\frac{1}{2}(x+2).
Podem também ser escritas na forma explicita:
y=\frac{1}{2}x+2 \qquad\text{e}\qquad y=-\frac{1}{2}x.

Passo 8

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  1. Marcar o centro em \bigl(-2,\,1\bigr).
  2. Traçar as duas retas assíntotas y-1=\pm\tfrac{1}{2}(x+2) (ou y=\tfrac{1}{2}x+2 e y=-\tfrac{1}{2}x).
  3. Marcar os vértices em \bigl(-2,\tfrac{3}{2}\bigr) e \bigl(-2,\tfrac{1}{2}\bigr); os ramos vão passar por esses pontos e abrir para cima e para baixo.
  4. (Dica construtiva) Desenhar um retângulo de centro (-2,1) com semilargura b=1 e semialtura a=\tfrac{1}{2}; as diagonais desse retângulo são as assíntotas — isso ajuda a posicioná-las com precisão.
  5. Desenhar as duas curvas (ramos) que passam pelos vértices e se aproximam das assíntotas quando |x| cresce. Os ramos ficam simétricos em relação ao centro e ao eixo vertical que passa pelo centro.

Passo 9

Pontos adicionais que ajudam a traçar com precisão (opcionais):
  • Interseção com o eixo y (colocando x=0): resolvendo a equação obtém-se y=1\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2} (dois pontos reais, um acima e outro abaixo do centro).
  • Interseção com o eixo x (colocando y=0): resolvendo obtém-se x=-2\pm\sqrt{3} (dois pontos à esquerda e à direita do centro).

Resposta

Centro: (-2,\,1)
Vértices: \bigl(-2,\,\tfrac{3}{2}\bigr) e \bigl(-2,\,\tfrac{1}{2}\bigr)
Assíntotas: y-1=\pm\frac{1}{2}(x+2) (equivalente a y=\tfrac{1}{2}x+2 e y=-\tfrac{1}{2}x)

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