Determine f circ g e g circ f onde f e g são funções definidas em R e dadas por
f(x)=l 4 x-3 se x >= 0 x^2-3 x+2 se x<0 , g(x)=l x+1 se x>2 1-x^2 se x <= 2 Resp :(f circ g)(x)=l 4 x+1 se x>2 1-4 x^2 se -1 <= x <= 1 x^4+x^2 se x<-1 ou 154 -16 x^2+24 x-8 se 0 <= x <= 54 x^2-3 x+3 se x<0

Passo 1

O enunciado pede para calcular as composições fcirc g e gcirc f, onde f e g são dadas por partes em R. O conteúdo envolve definição de função composta e análise de sinais para determinar em qual ramo de cada função devemos avaliar.

Passo 2

Para fcirc g, primeiro identificamos g(x) em seus dois casos e depois vemos se g(x) é maior ou igual a zero (então usamos o ramo 4x-3 de f) ou negativa (usamos o ramo x^2-3x+2 de f).

Passo 3

Se x>2, então
g(x)=x+1>0
logo
(fcirc g)(x)=4l(x+1r)-3=4x+1

Passo 4

Se x<=2, então
g(x)=1-x^2
Agora analisamos o sinal de 1-x^2:

Passo 5

Quando 1-x^2>=0, isto é -1<= x<=1, temos g(x)>=0 e
(fcirc g)(x)=4(1-x^2)-3=1-4x^2

Passo 6

Quando 1-x^2<0, ou seja x<-1 ou 1, temos g(x)<0 e usamos o ramo x^2-3x+2 de f:
(fcirc g)(x)=(1-x^2)^2-3(1-x^2)+2=x^4+x^2

Passo 7

Para gcirc f, primeiro identificamos f(x) em seus dois casos e depois vemos se f(x)>2 (então usamos o ramo x+1 de g) ou f(x)<=2 (usamos o ramo 1-x^2 de g).

Passo 8

Se x<0, então
f(x)=x^2-3x+2>2
para todo x<0, logo
(gcirc f)(x)=(x^2-3x+2)+1=x^2-3x+3

Passo 9

Se x>=0, então
f(x)=4x-3
Dividimos em dois subcasos:

Passo 10

Para 4x-3>2, isto é x>tfrac54, usamos g(y)=y+1:
(gcirc f)(x)=4x-3+1=4x-2

Passo 11

Para 4x-3<=2, ou seja 0<= x<=tfrac54, usamos g(y)=1-y^2:
(gcirc f)(x)=1-(4x-3)^2=-16x^2+24x-8

Resposta

(f\circ g)(x)=
4x+1,&x>2, 1-4x^2,&-1<= x<=1, x^4+x^2,&x<-1 ou 1
(g\circ f)(x)=
4x-2,&x>tfrac54, -16x^2+24x-8,&0<= x<=tfrac54, x^2-3x+3,&x<0

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