Determine e onde e são funções definidas em e dadas por
Passo 1
O enunciado pede para calcular as composições fcirc g e gcirc f, onde f e g são dadas por partes em R. O conteúdo envolve definição de função composta e análise de sinais para determinar em qual ramo de cada função devemos avaliar.
Passo 2
Para fcirc g, primeiro identificamos g(x) em seus dois casos e depois vemos se g(x) é maior ou igual a zero (então usamos o ramo 4x-3 de f) ou negativa (usamos o ramo x^2-3x+2 de f).
Passo 3
Se x>2, então
g(x)=x+1>0
logo
(fcirc g)(x)=4l(x+1r)-3=4x+1
Passo 4
Se x<=2, então
g(x)=1-x^2
Agora analisamos o sinal de 1-x^2:
Passo 5
Quando 1-x^2>=0, isto é -1<= x<=1, temos g(x)>=0 e
(fcirc g)(x)=4(1-x^2)-3=1-4x^2
Passo 6
Quando 1-x^2<0, ou seja x<-1 ou 1, temos g(x)<0 e usamos o ramo x^2-3x+2 de f:
(fcirc g)(x)=(1-x^2)^2-3(1-x^2)+2=x^4+x^2
Passo 7
Para gcirc f, primeiro identificamos f(x) em seus dois casos e depois vemos se f(x)>2 (então usamos o ramo x+1 de g) ou f(x)<=2 (usamos o ramo 1-x^2 de g).
Passo 8
Se x<0, então
f(x)=x^2-3x+2>2
para todo x<0, logo
(gcirc f)(x)=(x^2-3x+2)+1=x^2-3x+3
Passo 9
Se x>=0, então
f(x)=4x-3
Dividimos em dois subcasos:
Passo 10
Para 4x-3>2, isto é x>tfrac54, usamos g(y)=y+1:
(gcirc f)(x)=4x-3+1=4x-2
Passo 11
Para 4x-3<=2, ou seja 0<= x<=tfrac54, usamos g(y)=1-y^2:
(gcirc f)(x)=1-(4x-3)^2=-16x^2+24x-8
Resposta
(f\circ g)(x)= 4x+1,&x>2, 1-4x^2,&-1<= x<=1, x^4+x^2,&x<-1 ou 1